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△ABCで,tanA,tanB,tanCの値がすべて整数【1984一橋大】

数学(大学入試問題)

【1984一橋大学】

三角形 \(ABC\) において,\(\tan A\),\(\tan B\),\(\tan C\) の値がすべて整数であるとき,それらの値を求めよ.

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

本問では「2.条件から範囲を絞る」を利用します!

ん??条件って三角形だけで,どうやって範囲を絞るんですか・・・?

確かに問題文のままの情報では範囲に関する情報が乏しいので,

そこで次のPointに注目しましょう!

対称性の利用

対称性より,\(0°<A≦B≦C<180°\) として一般性を失わない

この条件があれば,「【整数問題】整数方程式(積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係)解法まとめ」でやったことがある典型問題ですね!

解答

対称性から,

\(0°<A≦B≦C<180°\) ・・・① としても一般性を失わない.

\(180°=A+B+C≧A+A+A=3A\) より

\(0°<A≦60°\) を満たす.

よって,\(0<\tan A≦\tan 60°=\sqrt{3}\)

ゆえに,\(\tan A=1\) , \(A=45°\)

このとき,\(B+C=135°\) であるから

\(C=135°-B\) より

\(\tan C=\tan(135°-B)\)

\(=\displaystyle\frac{\tan 135°-\tan B}{1+\tan 135°\tan B}\)

\(=\displaystyle\frac{\tan B+1}{\tan B-1}\)

\(=1+\displaystyle\frac{2}{\tan B-1}\)

\(\tan C\) は整数であるから,

\(\tan B-1 = -2 , -1 , 1 , 2\)

\(\tan B = -1 , 0 , 2 , 3\)

よって,

\(( \tan B , \tan C ) = ( -1 , 0 ) , ( 0 , -1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 2 )\)

これらのうち①を満たすのは \(( \tan B , \tan C ) = ( 2 , 3 )\)

よって,\(( \tan A , \tan B , \tan C ) = ( 1 , 2 , 3 )\)

対称性を利用して解答を作成してきたので,最後に \(A\) , \(B\) , \(C\) を並び替えたもの全てを答えることを忘れないように!

したがって,

\(( \tan A , \tan B , \tan C ) = ( 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 3 , 2 ) , ( 2 , 1 , 3 ) , ( 2 , 3 , 1 ) , ( 3 , 1 , 2 ) , ( 3 , 2 , 1 )\)

【整数問題(範囲による絞り込み)】東京大学1980,2006過去問
整数問題は「①積の形に変形」「②範囲の絞り込み」「③倍数や余りに注目」の3つのPointがあります。東京大学の過去問を利用して、「②範囲の絞り込み」の使い方について演習を行う。相加平均相乗平均を利用した別解

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