2014 福岡教育大学
\(a\)、\(b\)、\(c\) を実数とする．
\(a+b+c=\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{c}=1\)
であるとき、\(a\)、\(b\)、\(c\) のうち少なくとも \(1\) つは \(1\) に等しいことを示せ．
考え方
\(A\times B\times C=0 \\ \iff A=0 または B=0 または C=0\)
つまり、\(A\)、\(B\)、\(C\) の少なくとも \(1\) つは \(0\) である
方針
\(a\)、\(b\)、\(c\) のうち少なくとも \(1\) つは \(1\)
\(\iff \) \(a-1\)、\(b-1\)、\(c-1\) のうち少なくとも \(1\) つは \(0\)
\(\iff (a-1)(b-1)(c-1)=0\) であることを示せばよい．
解答
条件より
\(a+b+c=1\) ・・・ ①
\(\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{c}=1\) ・・・ ②
②の両辺を \(abc\) 倍してすると
\(abc=ab+bc+ca\) ・・・ ③
ここで、
\((a-1)(b-1)(c-1)=abc-ab-bc-ca+a+b+c-1\) より、
①、③を代入すると
\( abc-ab-bc-ca+a+b+c-1=0\) なので
\((a-1)(b-1)(c-1)=0\)
したがって、\(a-1\)、\(b-1\)、\(c-1\) のうち少なくとも \(1\) つは \(0\)
つまり、\(a\)、\(b\)、\(c\) のうち少なくとも \(1\) つは \(1\)
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