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2014 福岡教育大学【等式証明】少なくとも 1 つは 1 に等しいことの証明

数学(大学入試問題)

2014 福岡教育大学

\(a\)、\(b\)、\(c\) を実数とする.

\(a+b+c=\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{c}=1\)

であるとき、\(a\)、\(b\)、\(c\) のうち少なくとも \(1\) つは \(1\) に等しいことを示せ.

考え方

\(A\times B\times C=0 \\ \iff A=0 または B=0 または C=0\)

つまり、\(A\)、\(B\)、\(C\) の少なくとも \(1\) つは \(0\) である

 

方針

\(a\)、\(b\)、\(c\) のうち少なくとも \(1\) つは \(1\)

\(\iff \) \(a-1\)、\(b-1\)、\(c-1\) のうち少なくとも \(1\) つは \(0\)

\(\iff (a-1)(b-1)(c-1)=0\) であることを示せばよい.

解答

条件より

\(a+b+c=1\) ・・・ ①

\(\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{c}=1\) ・・・ ②

 

②の両辺を \(abc\) 倍してすると

\(abc=ab+bc+ca\) ・・・ ③

 

ここで、

\((a-1)(b-1)(c-1)=abc-ab-bc-ca+a+b+c-1\) より、

①、③を代入すると

\( abc-ab-bc-ca+a+b+c-1=0\) なので

\((a-1)(b-1)(c-1)=0\)

したがって、\(a-1\)、\(b-1\)、\(c-1\) のうち少なくとも \(1\) つは \(0\)

つまり、\(a\)、\(b\)、\(c\) のうち少なくとも \(1\) つは \(1\)

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3つの基本対称式(x+y+z,xy+yz+zx,xyz)に関する問題。少なくとも1つはa。数学Ⅱ、等式・不等式の証明。大小関係。4STEP類題。

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