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【2009京都大学】pのn乗の階乗 は p で何回割り切れるか[整数・ガウス記号・頻出]

数学(大学入試問題)

【2009京都大学・第5問(文)】

\(p\) を素数,\(n\) を正の整数とするとき,\((p^n)!\) は \(p\) で何回割り切れるか.

 

考え方:具体的に実験!

実験①:\(p=2\)、\(n=3\) のとき

\(p=2\)、\(n=3\) として考えてみましょう.

このとき、「\((2^3)!=8!\) は \(2\) で何回割り切れるか」を考えればよいと言うことになります.

もちろん \(8!\) ぐらいであればゴリゴリと計算すれば答えは出せるが、それでは意味がありません.

どのような値になっても答えが作れるような解法(一般化できる解法)を以下のように考えていきます.

 

まず下の画像を見て下さい.

\(8!\) を積の形になおし、数字の下にを付けました.

このが表す意味は、\(2\) を約数に何個持つかを表しています.

例えば

・\(8=2^3\) であるから、\(2\) が \(3\) 個ある.それをと表した.

・\(7\) であれば、\(2\) を約数に持たないため、は書いていない.

 

このとき、

「\((2^3)!=8!\) は \(2\) で何回割り切れるか」と言う問は、

が全部で何個あるか?」という問と同じです.

 

つまり、の個数を数えればよいわけであるが、このの数え方が重要!!

これをただただ数えるだけでは、数が大きくなった時に、限界がきます.

 

そこで、次の画像を見て下さい.

のカウントの仕方は、横に何個ずつあるか、段ごとでカウントしていきます.

その理由としては、

\(1\) 段目については必ず \(2\) つ置きにが現れます.

\(2\) 段目については必ず \(2^2=4\) つ置きにが現れます.

\(3\) 段目については必ず \(2^3=8\) つ置きにが現れます.

 

つまり、

\(1\) 段目のの個数は、\(8\div 2 = 4\) 個

\(2\) 段目のの個数は、\(8\div 2^2 = 2\) 個

\(3\) 段目のの個数は、\(8\div 2^3 = 1\) 個

と計算を用いてカウントすることが出来ます.

よって、\(4+2+1=7\)

 

実験②:\(p=3\)、\(n=5\) のとき

もう少し大きな値で具体的に実験してみます.

\(p=3\)、\(n=5\) とする.

つまり、「\((3^5)!=243!\) は \(3\) で何回割り切れるか」を考えればよい.

\(1\) 段目のの個数は、\(243\div 3 = 81\) 個

\(2\) 段目のの個数は、\(243\div 3^2 = 27\) 個

\(3\) 段目のの個数は、\(243\div 3^3 = 9\) 個

\(4\) 段目のの個数は、\(243\div 3^4 = 3\) 個

\(5\) 段目のの個数は、\(243\div 3^5 = 1\) 個

よって、\(81+27+9+3+1=121\) 個

※最後の足し算について

\(81+27+9+3+1\) の計算ぐらいであれば、頑張ればすぐに求めることはできます.

しかしここで気がついて欲しいことが!!

今回の問題に関しては、「等比数列の和」になることが分かると思います.

初項 \(a\)、公比 \(r(­≠1)\)、項数 \(n\) の等比数列の和の公式

\(\displaystyle\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) を利用することでより楽に計算が出来ます!

※この方法を用いれば、数が大きくなっても(文字になっても)同様に扱うことが出来ます.

解答

【2009 京都大学】

\(p\) を素数,\(n\) を正の整数とするとき,\((p^n)!\) は \(p\) で何回割り切れるか.

\(1\) から \(p^n\) までの \(p^n\) 個の数のうち、

\(p\) で割り切れる数は、\(p^n\div p = p^{n-1}\) 個

\(p^2\) で割り切れる数は、\(p^n\div p^2 = p^{n-2}\) 個

\(p^3\) で割り切れる数は、\(p^n\div p^3 = p^{n-3}\) 個

・・・・(これを繰り返す)

\(p^{n-1}\) で割り切れる数は、\(p^n\div p^{n-1} = p\) 個

\(p^n\) で割り切れる数は、\(p^n\div p^n = 1\) 個

 

したがって、\((p^n)!\) は \(p\) で

\(p^{n-1}+ p^{n-2}+ p^{n-3}+\cdots+p+1=\displaystyle\frac{p^n-1}{p-1}\) (回)割り切れる.


補足:ガウス記号について

今回の問題はすべて綺麗に割り切れたため、特に気にすることがなかったのですが、

例えば、「\(10 !\) は \(2\) で何回割り切れるか」という問題を考えてみます.

基本的な考え方は同じなのですが、

 

\(1\) 段目は、\(10\div 2 = 5\)  よって \(5\) 個

\(2\) 段目は、\(10\div 2^2 = 2.5\) となるため、整数部分の \(2\) 個となる.

\(3\) 段目は、\(10\div 2^3 = 1.25\) となるため、整数部分の \(1\) 個となる.

 

このように、割り切れない場合、整数部分を考えればよいが、これをガウス記号を用いて

\(\displaystyle\left[\frac{10}{2}\right]+\displaystyle\left[\frac{10}{2^2}\right]+\displaystyle\left[\frac{10}{2^3}\right]=5+2+1=8\) と書ける.

 

ガウス記号

実数 \(x\) に対して,\(x\) を超えない最大の整数を,\([x]\) と表す.

[    ] をガウス記号という.

つまり、\([x]\) は、\(x\) の整数部分

 

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