【2010京都大学】
数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) は，すべての正の整数 \(n\) に対して \(0≦3a_{n}≦\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}\) を満たしているとする．このとき，すべての \(n\) に対して \(a_{n}=0\) であることを示せ．
数学的帰納法(全段仮定)
(ⅰ) \(n = 1\) のとき
命題が成立することを示す
(ⅱ) \(n ≦ k\) のとき
命題が成立すると仮定し、\(n=k+1\) のとき命題が成立することを示す
全段仮定の数学的帰納法は，一般的な帰納法に比べると出題されるう頻度は少ないです。
しかし，経験がないとなかなか思いつく解法ではありません。(知っていれば簡単♩)
一般的な帰納法，２段仮定の数学的帰納法，そして本問の全段仮定の数学的帰納法の３タイプをしっかりとマスターしておきましょう！
全段仮定の考え方
最初に，どのような仕組みで成り立つのかを理解しておきましょう！
以下では，「 \(n\) 本目のドミノが倒れる」⇒「 \(n\) において命題が成立」と考えて読んでください！
まず一般的な帰納法の考え方は，
\(k\) 本目のドミノが倒れたときに， \(k+1\) 本目のドミノが倒れる仮定すると
\(1\) 本目のドミノを倒せばOKという流れ！
\(1\) 本目が倒れる ⇒ \(2\) 本目が倒れる
\(2\) 本目が倒れる ⇒ \(3\) 本目が倒れる
\(3\) 本目が倒れる ⇒ \(4\) 本目が倒れる
・・・・・とずっと倒れ続けることで，すべてのドミノを倒すことができます！
それに対して全段仮定は，
\(k\) 本目までのすべてのドミノが倒れたときに， \(k+1\) 本目のドミノが倒れる仮定すると
\(1\) 本目のドミノを倒せばOKという流れ！
\(1\) 本目が倒れる ⇒ \(2\) 本目が倒れる
\(1,2\) 本目が倒れる ⇒ \(3\) 本目が倒れる
\(1,2,3\) 本目が倒れる ⇒ \(4\) 本目が倒れる
・・・・・とずっと倒れ続けることで，すべてのドミノを倒すことができます！
解答・解説
解法１．数学的帰納法(全段仮定)
\(0≦3a_{n}≦\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}\) ・・・① とおく
( ⅰ ) \(n=1\) のとき
①より，\(0≦3a_{1}≦a_{1}\)
これより，\(0≦3a_{1}≦0\) となり \(a_{1}=0\)
( ⅱ ) \(n≦l\) となるすべての自然数で \(a_{n}=0\) が成立すると仮定する．
つまり，\(a_{1}=a_{2}=a_{3}=\cdots=a_{l}=0\) ・・・② と仮定する．
\(n=l+1\) のとき①より
\(0≦3a_{l+1}≦\displaystyle\sum_{k=1}^{l+1}{a_{k}}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{l}+a_{l+1}\)
②より，\(0≦3a_{l+1}≦a_{l+1}\) となり \(a_{l+1}=0\)
( ⅰ )，( ⅱ )より題意は示された．
解法２．背理法
数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) の中に， \(0\) でない項が存在すると仮定する．
その \(0\) でない最初の項を \(a_{m}\) とおくと，
\(n=1\) のとき \(0≦3a_{1}≦a_{1}\) であるから，
\(0≦3a_{1}≦0\) となり \(a_{1}=0\)
よって \(m≧2\) となる．
つまり，\(a_{1}=a_{2}=a_{3}=\cdots=a_{m-1}=0\) , \(a_{m}\not=0\) ・・・③
\(0≦3a_{n}≦\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}\) に \(n=m\) を代入すると
\(0≦3a_{m}≦a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{m-1}+a_{m}\)
③より \(0≦3a_{m}≦0\) となり \(a_{m}=0\)
しかしこれは \(a_{m}\not=0\) に矛盾する．
したがって，題意は示された．
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