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2005京都大学【整数問題】a^3-b^3=65を満たす整数

数学(大学入試問題)

【2005京都大学・第4問文理共通】

\(a^3-b^3=65\) を満たす整数の組 \(( a , b )\) をすべて求めよ.

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

この3つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください!

 

考え方・思考の仕方・解答

《Step1》積の形に変形

整数問題のPointの1つ目である、「積の形に変形」を考えると

\(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\) を利用!

\(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)=65=5\times13\) より

\(( a-b , a^2+ab+b^2 ) = ( ±1 , ±65 ) , ( ±5 , ±13 ) , ( ±13 , ±5 ) , ( ±65 , ±1 )\)

の8組の可能性がある

《Step2》範囲の絞り込み

上の8組全てを計算しても良いが、さすがに大変・・・.

そこで整数問題のPointの2つ目の「条件から範囲を絞る」を考えてみましょう。

 

絞り方① 正 or 負

まずはざっくりと、「正」か「負」かを考えてみる。.

\(a^2+ab+b^2 = (a+\displaystyle\frac{b}{2})^2+\displaystyle\frac{3}{4}b^2 \text{≧} 0\)

条件から\(( a , b ) ≠ ( 0 , 0 )\) より

\(a^2+ab+b^2 > 0\) ・・・①

①より、

\(( a-b , a^2+ab+b^2 ) = ( 1 , 65 ) , ( 5 , 13 ) , ( 13 , 5 ) , ( 65 , 1 )\) の4組に絞れた!

 

【参考】

①の結果から、\(a-b>0\) つまり、\(a>b\) より

\(a^2+ab+b^2>b^2+b\cdot b+b^2=3b^2\) となるため、

\(a^2+ab+b^2 = 1\) のとき、\(1>3b^2\)

これを満たす \(b = 0\) のみ

しかしこの時、題意を満たす \(a\) は存在しない.

よって \(( a-b , a^2+ab+b^2 ) = ( 65 , 1 )\) は不適となる.

絞り方② 大小関係

\(a-b\) と \(a^2+ab+b^2\) の差がどれだけあるかについて考える。

\((a^2+ab+b^2)-(a-b) = a^2+(b-1)a+b^2+b\)

平方完成すると

\((a+\displaystyle\frac{b-1}{2})^2+\displaystyle\frac{3(b+1)^2}{4}-1 ≧ -1\)

よって差が−1以上となる組み合わせを考えれば良いので、

\(( a-b , a^2+ab+b^2 ) = ( 1 , 65 ) , ( 5 , 13 )\) の2組に絞れた!

 

【参考】のように、他にも効率的で賢い絞り方がありますが、大切なのは他の問題も使えること!この問題しかできない解き方よりも、他の問題でも通用する考え方を優先して絞り込みを行なった。

《Step3》倍数に注目!

《Step2》で2組まで絞れたため、それぞれにおいて場合分けを行いましょう.

(ⅰ)\(( a-b , a^2+ab+b^2 ) = ( 1 , 65 )\) のとき

\(a=b+1\) を \(a^2+ab+b^2=65\) に代入して式を整理すると、

\(3b^2+3b=64\)

解の公式を用いて、 \(b\) が整数にならないことを確認しても良いが ・・・

左辺は3の倍数、右辺は3の倍数でない

整数問題のPointの3つ目でもある、「倍数や余りに注目」を考える癖があると、この式をみた瞬間に不適であると判断できる!

そしてこの発想は様々な場面で利用するため、このような発想を持っていなかった人はぜひ身につけてください!

 

(左辺)\(= 3b(b+1)\) となり3の倍数であるが、(左辺)は3の倍数でないため、(ⅰ)を満たす整数解は存在しない.

 

(ⅱ)\(( a-b , a^2+ab+b^2 ) = ( 5 , 13 )\)

\(a=b+5\) を \(a^2+ab+b^2=13\) に代入して式を整理すると、

\(b^2+5b+4=0\)

\((b+1)(b+4)=0\)

\(b = -1 , -4\)

以上から、\(( a , b )=( 1 , -4 ) , ( 4 , -1 )\)

 

最後に

いかがだったでしょうか?

同じ問題は出題されませんが、同じ形式の問題はよく出題されます。

整数問題の基本となる考え方を、本問を用いて考え方を中心に解説しました。

練習では、ただ解けるだけの勉強ではなく、どのように考えていくのかを大切に勉強しましょう!

他にも整数問題や、授業では扱わないが重要・頻出テーマを扱っています。

もしよかったら他の記事も読んで受験勉強にお役立てください。

 

コメント

  1. mrrclb48z より:

    はじめまして。
    ①qiitaでリンクしました。ありがとうございました。
    https://qiita.com/mrrclb48z/items/ea652acebc37911ee406

    ②コメントでwolframalphaのリンクしていいでしょうか?
    https://www.wolframalpha.com/input?i=x3-y3%3D65&lang=ja
    よろしくお願いします。

    • マス学ぶ より:

      はじめまして。マスマス学ぶをご覧いただきありがとうございます。
      ご利用いただいて大丈夫です。少しでも誰かのお役に立てれば幸いです。

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