\(\log_{10}{2}\) の値はおおよそ \(0.3010\) と知られているが、この近似値を使わずに以下の問に答えよ．
(1) \(2^{13}\) を計算せよ．
(2) \(\log_{10}{2}\) を小数第 \(2\) 位まで正しく求めよ．
(3) \(\log_{2}{3}\) を小数第 \(1\) 位まで正しく求めよ．
考え方
(1)について
基本的にはただただ計算を頑張りましょう！
➡(2)へのヒントであることを意識しましょう！！
(2)について
\(\log_{10}{2}\) について考えるので、「\(2\) の何乗」と「\(10\) の何乗」に関する評価式を考える．
(1)で \(2^{13}=8192\) であることがわかった．
この値にできるだけ近い値で、「\(10\) の何乗」を考える．
\(10^4=10000\) なので、\(2^{13}<10^4\)
両辺に \(\log_{10}\) をとると・・・
また上と同様に、「\(2\) の何乗」と「\(10\) の何乗」に関する評価式をもう一つ考える．
(3)について
(2)と同じように、\(\log_{2}{3}\) について考えるので、「\(2\) の何乗」と「\(3\) の何乗」に関する評価式を考えればよい．
\(\log_{10}{2}=0.3010\)、\(\log_{10}{3}=0.4771\) の近似値はとても有名ですから、覚えている人も多いかと．
つまり、底の変換公式を利用して、
\(\log_{2}{3}=\displaystyle\frac{\log_{10}{3}}{\log_{10}{2}}=\displaystyle\frac{0.4771}{0.3010}=1.58\cdots \)
であるから、答えは \(1.5\) であることは検討がつく．
解答
(1) \(2^{13}=8192\)
(2) (1)より、\(2^{13}=8192\) なので、\(2^{13}<10^4\)
両辺に \(\log_{10}\) をとると、
\(\log_{10}{2^{13}}<4\)
\(13\log_{10}{2}<4\)
\(\log_{10}{2}<\displaystyle\frac{4}{13}=0.307\cdots\) ・・・①
また、\(10^3<2^{10}\) より
両辺に \(\log_{10}\) をとると、
\(3<\log_{10}{2^{10}}\)
\(3<10\log_{10}{2}\)
\(0.3<\log_{10}{2}\) ・・・②
①、②より\(0.3<\log_{10}{2}<0.307\cdots\)
したがって、\(\log_{10}{2}\) の小数第 \(2\) 位までは
\(\log_{10}{2}=0.30\)
(3) \(3^5=243\)、\(2^8=256\) より
\(3^5<2^8\)
両辺に \(\log_{2}\) をとると、
\(5\log_{2}{3}<8\)
\(\log_{2}{3}<\displaystyle\frac{8}{5}=1.6\) ・・・③
また、\(2^3<3^2\) の両辺に \(\log_{2}\) をとると、
\(3<2\log_{2}{3}\)
\(1.5<\log_{2}{3}\) ・・・④
③、④より
\(1.5<\log_{2}{3}<1.6\)
したがって、\(\log_{2}{3}\) の小数第 \(1\) 位までは
\(\log_{2}{3}=1.5\)
さいごに
まず、\(\log_{10}{2}=0.3010\)、\(\log_{10}{3}=0.4771\) の近似値は覚えておくことをお勧めする。
とりあえず値を覚えておくことで、答えの検討を付けることができる！
しかし、問題文に使ってよいと書かれていなければ、勝手に使用することが出来ない。そこで上の問題の解法のように、「\(2\) の何乗」と「\(10\) の何乗」を考えることで評価式を作り、おおよその近似値を求められるようになっておいて欲しい。
私の経験からすると、難関大学と呼ばれる大学ほど、近似値直接使わせるのではなく、自信で評価させてから問題を考えさせる問題が多いように感じる。
ただ答えが求められるだけでなく、記述することを意識しましょう！
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