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対数log{10}{2}、log{2}{3}の評価|近似値の求め方|小数第1、2位

数学(大学入試問題)

\(\log_{10}{2}\) の値はおおよそ \(0.3010\) と知られているが、この近似値を使わずに以下の問に答えよ.

(1) \(2^{13}\) を計算せよ.

(2) \(\log_{10}{2}\) を小数第 \(2\) 位まで正しく求めよ.

(3) \(\log_{2}{3}\) を小数第 \(1\) 位まで正しく求めよ.



考え方

(1)について

基本的にはただただ計算を頑張りましょう!

➡(2)へのヒントであることを意識しましょう!!

\(2^{10}=1024\) であることを覚えていると、

\(2^{13}=2^3\times 2^{10}=8\times 1024=8192\) と楽に計算できる.

\(2^{10}\) については、ちょいちょい出てくる値ですので、覚えておいて損はないかと.

(2)について

\(\log_{10}{2}\) について考えるので、「\(2\) の何乗」と「\(10\) の何乗」に関する評価式を考える.

 

(1)で \(2^{13}=8192\) であることがわかった.

この値にできるだけ近い値で、「\(10\) の何乗」を考える

\(10^4=10000\) なので、\(2^{13}<10^4\)

両辺に \(\log_{10}\) をとると・・・

また上と同様に、「\(2\) の何乗」と「\(10\) の何乗」に関する評価式をもう一つ考える.

 

(3)について

(2)と同じように、\(\log_{2}{3}\) について考えるので、「\(2\) の何乗」と「\(3\) の何乗」に関する評価式を考えればよい.

 

\(\log_{10}{2}=0.3010\)、\(\log_{10}{3}=0.4771\) の近似値はとても有名ですから、覚えている人も多いかと.

つまり、底の変換公式を利用して、

\(\log_{2}{3}=\displaystyle\frac{\log_{10}{3}}{\log_{10}{2}}=\displaystyle\frac{0.4771}{0.3010}=1.58\cdots \)

であるから、答えは \(1.5\) であることは検討がつく.

解答

(1) \(2^{13}=8192\)

 

(2) (1)より、\(2^{13}=8192\) なので、\(2^{13}<10^4\)

両辺に \(\log_{10}\) をとると、

\(\log_{10}{2^{13}}<4\)

\(13\log_{10}{2}<4\)

\(\log_{10}{2}<\displaystyle\frac{4}{13}=0.307\cdots\) ・・・①

 

また、\(10^3<2^{10}\) より

両辺に \(\log_{10}\) をとると、

\(3<\log_{10}{2^{10}}\)

\(3<10\log_{10}{2}\)

\(0.3<\log_{10}{2}\) ・・・②

 

①、②より\(0.3<\log_{10}{2}<0.307\cdots\)

したがって、\(\log_{10}{2}\) の小数第 \(2\) 位までは

\(\log_{10}{2}=0.30\)

 

(3) \(3^5=243\)、\(2^8=256\) より

\(3^5<2^8\)

両辺に \(\log_{2}\) をとると、

\(5\log_{2}{3}<8\)

\(\log_{2}{3}<\displaystyle\frac{8}{5}=1.6\) ・・・③

 

また、\(2^3<3^2\) の両辺に \(\log_{2}\) をとると、

\(3<2\log_{2}{3}\)

\(1.5<\log_{2}{3}\) ・・・④

③、④より

\(1.5<\log_{2}{3}<1.6\)

したがって、\(\log_{2}{3}\) の小数第 \(1\) 位までは

\(\log_{2}{3}=1.5\)

 

さいごに

まず、\(\log_{10}{2}=0.3010\)、\(\log_{10}{3}=0.4771\) の近似値は覚えておくことをお勧めする。

とりあえず値を覚えておくことで、答えの検討を付けることができる!

しかし、問題文に使ってよいと書かれていなければ、勝手に使用することが出来ない。そこで上の問題の解法のように、「\(2\) の何乗」と「\(10\) の何乗」を考えることで評価式を作り、おおよその近似値を求められるようになっておいて欲しい。

私の経験からすると、難関大学と呼ばれる大学ほど、近似値直接使わせるのではなく、自信で評価させてから問題を考えさせる問題が多いように感じる。

ただ答えが求められるだけでなく、記述することを意識しましょう!

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