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【2022共通テスト】数学ⅡB:第4問(数列)|漸化式[階差数列,隣接二項間特性方程式]

数学(大学入試問題)

【2022数学ⅡB】第4問(数列)

問題と解答・解説《ア〜ウ》

解答・解説《ア〜ウ》

自転車の移動の速さは毎分 \(2\) であるから,出発してから最初に歩行者に追いつくまでの時間を \(t\) とすると,自宅から \(2t\) の位置で追いつく.

歩行者は毎分 \(1\) の速さで歩くので

\(2+t=2t\) \(\iff\) \(t=2\)

よって,最初に歩行者に追いつく時刻と位置を表す点の座標は \((4,4)\) ・・・《ア》

次に,自転車と歩行者の位置関係を表すグラフから,

\(a_{2}=a_{1}+t+1+t+1=8\) ・・・《イ》

\(b_{2}=4+(t+1)=7\) ・・・《ウ》

問題と解答・解説《エオ》

解答・解説《エオ》

自転車が \(n\) 回目に自宅を出発してから次に歩行者に追いつくまでの時間を \(t\) とする.

上と同様に考えて,右のグラフより

\(b_{n}+t=2t\) \(\iff\) \(t=b_{n}\)

よって追いつく時刻は,

\(a_{n}+t=a_{n}+b_{n}\)

であり,そのときの位置は

\(2t=2b_{n}\)

したがって,\((a_{n}+b_{n},2b_{n})\) ・・・《エ:③,オ:④》

問題と解答・解説《カ〜セ》

解答・解説《カ〜セ》

(先程の続き)

右図より

\(a_{n+1}=a_{n}+t+1+t+1=a_{n}+2t+2\)

\(t=b_{n}\) より

\(a_{n+1}=a_{n}+2b_{n}+2\) ・・・《カキ》

また,\(b_{n+1}=b_{n}+t+(t+1)=b_{n}+2t+1\)

\(b_{n+1}=3b_{n}+1\) ・・・《ク》

が成り立つ.

\(b_{1}=2\) , \(b_{n+1}=3b_{n}+1\) より

漸化式の隣接二項間特性方程式の有名タイプですね!

頻出タイプになりますので,不安な方は

【漸化式4】隣接二項間特性方程式|解法パターン|数学B数列」でしっかり確認・演習を!

\(b_{n+1}=3b_{n}+1\) \(\iff\) \(b_{n+1}+\displaystyle\frac{1}{2}=3\left(b_{n}+\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) より

数列 \(\left\{b_{n}+\displaystyle\frac{1}{2}\right\}\) は,初項が \(b_{1}+\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{5}{2}\) ,公比が \(3\) の等比数列であるから

\(b_{n}+\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{5}{2}\cdot3^{n-1}\)

よって,\(b_{n}=\displaystyle\frac{5}{2}\cdot3^{n-1}-\displaystyle\frac{1}{2}\) ・・・《ケ:⑦》

また,\(a_{n+1}=a_{n}+2b_{n}+2\) より

\(a_{n+1}=a_{n}+2\left(\displaystyle\frac{5}{2}\cdot3^{n-1}-\displaystyle\frac{1}{2}\right)+2\)

\(a_{n+1}=a_{n}+5\cdot3^{n-1}+1\)

漸化式の階差型のタイプですね!

頻出タイプになりますので,不安な方は

【漸化式1,2,3】等差・等比・階差数列型|解法パターン|数学B数列」でしっかり確認・演習を!

\(n≧2\) のとき

\(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{(5\cdot3^{k-1}+1)}\) であるから

\(a_{n}=2+\displaystyle\frac{5(3^{n-1}-1)}{3-1}+n-1=\displaystyle\frac{5}{2}\cdot3^{n-1}+n-\displaystyle\frac{3}{2}\)

\(n=1\) のとき \(a_{1}=2\) となり成り立つ.

したがって,\(a_{n}=\displaystyle\frac{5}{2}\cdot3^{n-1}+n-\displaystyle\frac{3}{2}\) ・・・《コ:⑨》

(2) \(y=300\) の位置に歩行者が到着するまでに自転車が歩行者に追いつく回数 \(n\) は

\(2b_{n}≦300\) をみたす最大の \(n\) である.

\(2\left(\displaystyle\frac{5}{2}\cdot3^{n-1}-\displaystyle\frac{1}{2}\right)≦300\)

\(\iff\) \(3^{n-1}≦60.2\)

これを満たす最大の整数 \(n\) は \(n=4\) であるから, \(4\) 回 ・・・《サ》

このとき,自転車が歩行者に追いつく時刻 \(x\) は

\(x=a_{4}+b_{4}=\left(\displaystyle\frac{5}{2}\cdot3^3+4-\displaystyle\frac{3}{2}\right)+\left(\displaystyle\frac{5}{2}\cdot3^3-\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\)\(137\) ・・・《シスせ》

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