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【格子点】x+y≦n(x,yは0以上の整数)を満たす格子点の個数|2014中央大学

数学(大学入試問題)

【2014中央大学(一部)】

座標平面上で,点 \((x,y)\) を考える.ここで,\(x\) , \(y\) を \(0\) 以上の整数,\(n\) を自然数とする.

このとき,以下の個数を \(n\) で表せ.

(1) \(x+y≦n\) を満たす点 \((x,y)\) の個数

(2) \(\displaystyle\frac{x}{2}+y≦n\) を満たす点 \((x,y)\) の個数

格子点について

格子点とは

格子点とは,\(x\) 座標も \(y\) 座標も整数である点のこと.

難関大学では頻出の分野の1つです!

有名な問題ですので,しっかりと考え方をマスターしましょう!

格子点問題の考え方

格子点

⇒ \(x\) or \(y\) 軸に平行な直線ごとにカウントし,総和(Σ)を考える

(1) 解答・解説

(1) \(x+y≦n\) を満たす点 \((x,y)\) の個数

\(x≧0\) , \(y≧0\) , \(x+y≦n\) を満たす領域の中で

\(x=k\) ( \(k=0,1,2,\cdots,n\) ) 上にある格子点は

\((k,0)\) , \((k,1)\) , \((k,2)\) , ・・・ , \((k,-k+n)\) の

\(-k+n+1\) 個ある.

したがって,

\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{(-k+n+1)}=n+1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(-k+n+1)}\)

\(=n+1-\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)+n(n+1)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}(n+1)(n+2)\) 個

(2) 解答・解説

(2) \(\displaystyle\frac{x}{2}+y≦n\) を満たす点 \((x,y)\) の個数

上図のように(1)と同様に \(x=k\) で考えると,

\(x\) が偶数の場合と奇数の場合で,\(y=-\displaystyle\frac{1}{2}x+n\) 上の点が格子点になるかどうかが変わります。つまり場合分けをしなければいけません!

そんな時は, \(y=k\) を考えてみましょう!

\(x≧0\) , \(y≧0\) , \(x+y≦n\) を満たす領域の中で

\(y=k\) ( \(k=0,1,2,\cdots,n\) ) 上にある格子点は

\((0,k)\) , \((1,k)\) , \((2,k)\) , ・・・ , \((-2k+2n,k)\) の

\(-2k+2n+1\) 個ある.

したがって,

\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{(-2k+2n+1)}=2n+1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(-2k+2n+1)}\)

\(=2n+1-\displaystyle\frac{2}{2}n(n+1)+n(2n+1)\)

\(=(n+1)^2\) 個

【格子点】放物線と直線で囲まれた領域の格子点の個数|お茶の水女子大学
x,y座標がともに整数となる格子点の個数の数え方・考え方を解説。x=kやy=k上の格子点を数え、総和(シグマ)を考える。難関大学頻出・有名問題。差がつく入試問題。数学A:整数問題、数学B:数列。お茶の水女子大学過去問演習。GMARCH、関関同立、早慶、東大、京大、一橋、旧帝大、難関大学対策。

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