2016 京都大学（理系：第２問）整数問題【素数】p^q+q^p と表される素数

 

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

整数問題の多くが、上の１から３のいずれかで処理できます。

この３つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください！

はじめに

☆素数「２」は特別扱い

素数の中で唯一の偶数である「２」は、素数問題において特別扱いされることが非常に多い。

(※２番目の素数である「３」も特別扱いされることが多い)

その為、何も方針が浮かばないのであれば、とりあえず「２」や「３」あたりを確認してみると良い。

 

☆平方数・指数はmod 3，mod 4 が有効

難関大学ではよく出題されるPointの１つ！

まずは下の表を見てください。

平方数において

指数において

指数においてもmod 3，mod 4を考えることで規則性を見つけることが出来る！

【考え方・思考の仕方】

《Step1》

整数問題のPoint①の積の形には・・・無理だろう。

※できないと言うことを確認することが大切！

 

《Step2》整数問題のPoint②の範囲の絞り込みについて

\(p≧2 , q≧2\) より、

\(p^q+q^p≧2^2+2^2=8\)

つまり、

\(p^q+q^p\)は８以上の素数であるから、「奇数」であることが分かる

→\((p^q , q^p)=\)(偶数，奇数) または (奇数，偶数)

→\(p^q , q^p\) の一方が偶数、他方は奇数

→\(p , q\) の一方が偶数、他方は奇数

→\(p=2\) または \(q=2\)

→\(p=2\) のときをとりあえず考えよう！

《ここまでのまとめ》問題の言い換え

《Step3》

整数問題のPoint③の倍数や余りに注目しつつ、とりあえず実験してみよう！

 

【具体的に実験した結果】

 

実験の結果から、とりあえず \(p=2 , q=3\) が答えであることは確定！

他に解はないことをしっかりと記述しよう！

《Step4》

\(q\) が3の倍数でないのとき、

法を３とすると

\(q^2≡1\) ・・・①

 

\(q\) が奇数のとき、

法を３とすると

\(2^q≡2\) ・・・①

 

\(q\) が5以上の素数のとき、

\(2^q+q^2≡2+1≡0\)

となり\(2^q+q^2\) が3の倍数になる！！

【解答】

(ⅰ)　\(p≦q\) のとき

\(2≦p≦q\) より、\(p^q+q^p≧2^2+2^2=8\)

つまり、

\(p^q+q^p\)は８以上の素数 ・・・① となる．

８以上の素数ならば奇数であるから

\(p^q , q^p\) の一方が偶数、他方は奇数

つまり\(p , q\) の一方が偶数、他方は奇数

よって\(p=2\)

 

(ア)　\(q=3\) のとき

\(p^q+q^p=17\) となり、題意を満たす．

よって\((p , q)=(2 , 3)\)

 

(イ)　\(q≧5\) の素数のとき

法を３として

\(2^q≡2\) ・・・②

 

(②の証明)

\(q≧5\) の素数より、奇数となる

つまり、自然数 \(m\) を用いて

\(q=2m+1\) とおける．

\(2^q=2^{2m+1}=2\times4^m≡2\times 1^m=2\)

 

また、\(q^2≡1\) ・・・③

(③の証明)

\(q≧5\) の素数より、\(q\) は３の倍数ではない．

つまり、自然数 \(n\) を用いて

\(q=3n±1\) とおける．

\(q^2=(3n±1)^2≡(±1)^2=1\)

 

したがって、②、③より

\(2^q+q^2≡2+1≡0\)

すなわち、 \(2^q+q^2\) は３の倍数

この結果と①より、\(2^q+q^2\) は素数とならない

 

以上、(ア)、(イ)から、\((p , q)=(2 , 3)\)

 

(ⅱ)　\(p≧q\) のとき

(ⅰ)と同様に考え \((p , q)=(3 , 2)\)

 

 

(ⅰ)、(ⅱ)より、

\((p , q)=(2 , 3) , (3 , 2)\)

最後に

いかがだったでしょうか？

決して簡単な問題ではありませんが、この１問を通して、整数問題で大切な考え方をたくさん学ぶことが出来ます。

同じ問題は出ることはありませんが、同じ形式の問題はよく出題されるので、しっかりと考え方を理解し、自分のものにしてください。

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