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【1992京都大学】sin3θ=sin2θ、sin3θ=msin2θ+nsinθを満たす0以上の整数m,n

数学(大学入試問題)

【1992京都大学】

\(\theta\) は \(0°<\theta<90°\) の範囲の角とする.

(1) \(\sin 3\theta=\sin 2\theta\) を満たす \(\theta\) を求めよ.

(2) \(m\),\(n\) を \(0\) 以上の整数とする.\(\theta\) についての方程式

\(\sin 3\theta=m\sin 2\theta+n\sin \theta\)

が解をもつときの \((m,n)\) と,そのときの解 \(\theta\) を求めよ.

\(\sin A=\sin B\) について

考え方①単位円で考える

\(\sin A=\sin B\)

\(\iff\) \(A=B+2n\pi\) または \(A+B=\pi+2n\pi\) ( \(n\) は整数 )

《単位円で \(A\) と \(B\) が同じ位置にあるとき》

一番シンプルなのは \(A=B\) (  \(n=0\) のとき )

他にも, \(A\) が \(B\) よりも一周分 ( 2 \(\pi\) 分 ) だけ大きい角度であるとき

\(A=B+2\pi\) (  \(n=1\) のとき )

というように, \(A\) と \(B\) が同じ位置にいるとき, \(A=B+2n\pi\) の関係が成り立つ,

 

《単位円で \(A\) と \(B\) が同じ高さ(異なる点)のとき》

例えば,\(\sin 60°=\sin 120°\) のように,

\(60°+120°=180° ( \pi )\) ( \(n=0\) ) のときに成り立つ.

他にも,\(\sin 60°=\sin (60°+360°\times n)\) であるから

\(\sin (60°+360°\times n)=\sin 120°\) となり,

\((60°+360°\times n)+120°=180°+360°\times n ( =\pi+2n\pi)\) の関係が成り立つ.

よって, \(A\) と \(B\) が同じ高さ(異なる点)のとき, \(A+B=\pi+2n\pi\) の関係が成り立つ,

【2012京都大学】cos aθ=cos bθ,0<θ≦πとなるθがちょうど1つある正の実数(a,b)の範囲
cosA=cosBとなるA,Bの関係式。また和積の公式を利用した別解。京大過去問演習。頻出良問。数学Ⅱ:三角関数

(1)解答①

\(\sin 3\theta=\sin 2\theta\) より

\(m\) , \(n\) を整数として

\(3\theta=2\theta+2m\pi\) または \(3\theta+2\theta=\pi+2n\pi\) が成り立つ

よって,\(\theta=2m\pi\) または \(\theta=\displaystyle\frac{\pi+2n\pi}{5}\)

\(0<\theta<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) を満たすのは,\(n=0\) のとき \(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{5}=36°\)

考え方②和積の公式の利用

和積の公式

\(\sin A-\sin B=2\cos\displaystyle\frac{A+B}{2}\sin\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

※その他,三角関数に関する公式まとめは「【三角関数】公式まとめ&差がつく入試問題演習

(1)解答②

\(\sin 3\theta=\sin 2\theta\) \(\iff\) \(\sin 3\theta-\sin 2\theta=0\)

\(\sin 3\theta-\sin 2\theta=2\cos\displaystyle\frac{5\theta}{2}\sin\displaystyle\frac{\theta}{2}=0\)

\(0°<\theta<90°\) より

\(0°<\displaystyle\frac{5\theta}{2}<225°\) , \(0°<\displaystyle\frac{\theta}{2}<45°\) であるから,

\(\displaystyle\frac{5\theta}{2}=90°\)

よって,\(\theta=36°\)

(2) 解答・解説

\(\theta\) は \(0°<\theta<90°\) の範囲の角とする.

(2) \(m\),\(n\) を \(0\) 以上の整数とする.\(\theta\) についての方程式

\(\sin 3\theta=m\sin 2\theta+n\sin \theta\)

が解をもつときの \((m,n)\) と,そのときの解 \(\theta\) を求めよ.

\(3\) 倍角 , \(2\) 倍角の公式より与式は,

\(3\sin \theta-4\sin^3\theta=2m\sin \theta\cos \theta+n\sin \theta\)

\(0°<\theta<90°\) より \(\sin \theta\not=0\) より

\(3-4\sin^2\theta=2m\cos \theta+n\)

\(3-4(1-\cos^2\theta)=2m\cos \theta+n\)

\(4\cos^2 \theta-2m\cos \theta-n-1=0\)

\(t=\cos \theta\) とおく( \(0<t<1\) )

\(4t^2-2mt-n-1=0\)

\(f(t)=4t^2-2mt-n-1\) とおくと

\(f(t)=0\) が \(0<t<1\) で少なくとも \(1\) つ解を持てばよい

ここで,\(y=f(t)\) は下に凸の放物線であり,

\(f(0)=-n-1<0\) であることに注目すると

題意を満たすのためには \(f(1)>0\) を満たせばよい.

よって,\(f(1)=-2m-n+3>0\)

\(2m+n<3\)

これを満たす \(0\) 以上の整数 \(m\),\(n\) は

\(( m , n ) = ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 0 , 2 ) , ( 1 , 0 )\)

 

( ア ) \(( m , n ) = ( 0 , 0 )\) のとき

\(f(t)=4t^2-1=0\)

\(0<t<1\) より \(t=\displaystyle\frac{1}{2}\)

よって,\(\cos \theta=\displaystyle\frac{1}{2}\) より \(\theta=60°\)

( イ ) \(( m , n ) = ( 0 , 1 )\) のとき

\(f(t)=4t^2-2=0\)

\(0<t<1\) より \(t=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\)

よって,\(\cos \theta=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) より \(\theta=45°\)

( ウ ) \(( m , n ) = ( 0 , 2 )\) のとき

\(f(t)=4t^2-3=0\)

\(0<t<1\) より \(t=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)

よって,\(\cos \theta=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) より \(\theta=30°\)

( エ ) \(( m , n ) = ( 1 , 0 )\) のとき

(1) より \(\theta=36°\)

したがって,

\((m,n)=(0,0)\) のとき,\(\theta=60°\)

\((m,n)=(0,1)\) のとき,\(\theta=45°\)

\((m,n)=(0,2)\) のとき,\(\theta=30°\)

\((m,n)=(1,0)\) のとき,\(\theta=36°\)

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