【整数問題｜良問】連続する自然数の和が1000(1989山形大 )

【1989 山形大】

いくつかの連続な自然数の和が \(1000\) であるとき、この連続な自然数を求めよ．

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

整数問題の多くが、上の１から３のいずれかで処理できます。

この３つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください！

また、それぞれの使い方などについて、下記の記事で基本問題を用いて考え方について解説しています。整数問題が苦手な人は是非確認しましょう！

\(a\) から始まる \(b+1\) 個の自然数

つまり、\(a , a+1 , a+2 , \cdots , a+b-1 , a+b\) を考える．

この \(b+1\) 個の自然数の和が \(1000\) となるとき、

\(\displaystyle\frac{1}{2}(b+1)(2a+b)=1000\)

\((b+1)(2a+b)=2000=2^4\cdot5^3\) ・・・①

整数問題Pointである、「積の形に変形した！」

しかし、積が\(2000=2^4\cdot5^3\) となるペアは非常に多い！

☞　絞り込みを行いたい

\(a\)、\(b\) は自然数であるから、

\(2a+b>b+1≧2\) ・・・②

が成り立つ．

次に、\(2a+b\) と \(b+1\) の和を考える．

\((2a+b)+(b+1)=2a+2b+1=2(a+b)+1\) となり、和が奇数

つまり、\(2a+b\) と \(b+1\) の一方は奇数、もう一方は偶数 ・・・③

①～③より、大小関係、偶奇に注意すると

\(( b+1 , 2a+b )=( 5 , 400 ) , ( 25 , 80 ) , ( 16 , 125 )\) のいずれか．

よって、\(( a , b )=( 198 , 4 ) , ( 28 , 24 ) , ( 55 , 15 )\)

したがって求める自然数は

\(198 , 199 , 200 , 201 , 202\)

\(28 , 29 , 30 , \cdots , 52\)

\(55 , 56 , 57 , \cdots , 70\)

いかがだったでしょうか？

整数問題になれていないとどこから手を出してよいか分かりにくい問題だと思います。しかし、しっかりと整数問題の経験を積めば、完全典型問題になりますので、しっかりと整数問題のポイントを押さえ、自力で解けるようにしていきましょう！

このブログでは有名パターンの整数問題を多く扱っています。また考え方についても解説していますので、様々な有名問題に触れ、２次試験で差がつく整数問題を得点源にしていきましょう！