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【整数問題|良問】連続する自然数の和が1000(1989山形大 )

数学(大学入試問題)

【1989 山形大】

いくつかの連続な自然数の和が \(1000\) であるとき、この連続な自然数を求めよ.

 

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

この3つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください!

 

また、それぞれの使い方などについて、下記の記事で基本問題を用いて考え方について解説しています。整数問題が苦手な人は是非確認しましょう!

【整数問題】整数方程式(積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係)解法まとめ
定期考査から大学受験まででよく出題される頻出テーマである整数方程式。積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係など、様々なアプローチを1つ1つ考え方・見分け方を大切にしながら解説。共通テスト・2次試験整数問題対策。

解答・解説

\(a\) から始まる \(b+1\) 個の自然数

つまり、\(a , a+1 , a+2 , \cdots , a+b-1 , a+b\) を考える.

この \(b+1\) 個の自然数の和が \(1000\) となるとき、

\(\displaystyle\frac{1}{2}(b+1)(2a+b)=1000\)

\((b+1)(2a+b)=2000=2^4\cdot5^3\) ・・・①

整数問題Pointである、「積の形に変形した!」

しかし、積が\(2000=2^4\cdot5^3\) となるペアは非常に多い!

☞ 絞り込みを行いたい

大小関係から絞り込み

\(a\)、\(b\) は自然数であるから、

\(2a+b>b+1≧2\) ・・・②

が成り立つ.

和(差)をとって偶奇の判定

次に、\(2a+b\) と \(b+1\) の和を考える.

\((2a+b)+(b+1)=2a+2b+1=2(a+b)+1\) となり、和が奇数

つまり、\(2a+b\) と \(b+1\) の一方は奇数、もう一方は偶数 ・・・③

 

①~③より、大小関係、偶奇に注意すると

\(( b+1 , 2a+b )=( 5 , 400 ) , ( 25 , 80 ) , ( 16 , 125 )\) のいずれか.

よって、\(( a , b )=( 198 , 4 ) , ( 28 , 24 ) , ( 55 , 15 )\)

したがって求める自然数は

\(198 , 199 , 200 , 201 , 202\)

\(28 , 29 , 30 , \cdots , 52\)

\(55 , 56 , 57 , \cdots , 70\)

 

さいごに

いかがだったでしょうか?

整数問題になれていないとどこから手を出してよいか分かりにくい問題だと思います。しかし、しっかりと整数問題の経験を積めば、完全典型問題になりますので、しっかりと整数問題のポイントを押さえ、自力で解けるようにしていきましょう!

このブログでは有名パターンの整数問題を多く扱っています。また考え方についても解説していますので、様々な有名問題に触れ、2次試験で差がつく整数問題を得点源にしていきましょう!

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