【2003東京大学・第４問・文理共通(一部)】
\(2\) 次方程式 \(x^2-4x-1=0\) の \(2\) つの実数解のうち大きいものを \(\alpha\)、小さいものを \(\beta\) とする．
\(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\) に対し、\(s_{n}=\alpha^n+\beta^n\) とおく．
(１) \(s_{1}\)、\(s_{2}\)、\(s_{3}\) を求めよ．また、\(n≧3\) に対し、\(s_{n}\) を \(s_{n-1}\) と \(s_{n-2}\) で表せ．
(２) \(\beta^3\) 以下の最大の整数を求めよ．
(３) \(\alpha^{2003}\) 以下の最大の整数の \(1\) の位の数を求めよ．
(１) 考え方・方針の立て方・解答
解と係数の関係
\(ax^2+bx+c=0\) の２解が \(x = \alpha , \beta \) のとき、
\(\alpha + \beta = -\displaystyle\frac{b}{a}\)、\(\alpha \beta = \displaystyle\frac{c}{a}\)
おえておきたい対称式関係の公式
・\(p^2+q^2=(p+q)^2-2pq\)
・\(p^3+q^3=(p+q)^3-3pq(p+q)\)
・\(p^{n+1}+q^{n+1}=(p+q)(p^n+q^n)-pq(p^{n-1}+q^{n-1})\)
※数学的帰納法(２段仮定)とセットでよく使用します！この関係式は絶対に覚えておきましょう！(または自分で導けるように！)
(１) 解答
解と係数の関係から、\(\alpha+\beta=4\)、\(\alpha\beta=-1\)
\(s_{1}=\alpha+\beta=4\)
\(s_{2}=\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=18\)
\(s_{3}=\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=76\)
\(\alpha^{n}+\beta^{n}=(\alpha+\beta)(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})-\alpha\beta(\alpha^{n-2}+\beta^{n-2})\) より
\(s_{n}=4s_{n-1}+s_{n-2}\)
(２) 考え方・方針の立て方・解答
解法Ⅰ：地道に頑張る
\(2\) 次方程式 \(x^2-4x-1=0\) の \(2\) つの実数解のうち小さいものが \(\beta\) であるから、
\(\beta=2-\sqrt{5}\)、\(\beta^2-4\beta-1=0\) が成り立つ．
\(\beta^2-4\beta-1=0\) より、
\(\beta^2=4\beta+1\) なので、
\(\beta^3=4\beta^2+\beta=4(4\beta+1)+\beta=17\beta+4\)
したがって、\(\beta^3=17(2-\sqrt{5})+4=38-17\sqrt{5}\)
\(17\sqrt{5}=\sqrt{1445}\) で、
\(38=\sqrt{1444}<\sqrt{5}<\sqrt{1521}=39\) より
\(-1<\beta^3<0\)
ゆえに、\(\beta^3\) 以下の最大の整数は \(-1\)
解法Ⅱ：(３)に繋げるために
上の解法Ⅰでも当然答えは求まるため悪くはない．
しかし、地道に計算する方法では、さすがに \(\alpha^{2003}\) は・・・
つまり、(２)の考え方、答えをどのように(３)に繋げるかを考えて解答を改めて考える。
【解答】
\(\beta=2-\sqrt{5}\) 、\(2<\sqrt{5}<3\) より
\(-1<\beta<0\) となる．
よって、\(-1<\beta^3<0\)
※非常に単純であるが、意外と気がつかない．
もちろん最初から気が付ければそれが理想的であるが、私は最初はとりあえず地道に答えを捕まえた．(数学的発想が乏しい自分が悲しくなります・・・しかし、数学的な発想力が乏しくても、実験から答えを導いていくことは出来る！)
その上で、次につなげるためにと考え、上の別解を考えた．このことから、\(-1<\beta^{2003}<0\) であることも簡単に言えるため、(３)につながる．
(３) 考え方・方針の立て方・解答
\(s_{2003}=\alpha^{2003}+\beta^{2003}\) より、
\(\alpha^{2003}=s_{2003}-\beta^{2003}\) ・・・①
また(２)の結果から、\(-1<\beta^{2003}<0\) ・・・②
①、②より、\(s_{2003}<\alpha^{2003}<s_{2003}+1\)
また(１)の結果から、\(s_{n}\) は自然数であるから
参考：数学的帰納法(２段仮定)
\(s_{n}\) は自然数であることを、数学的帰納法(２段仮定)を用いて証明する．
(ⅰ) \(n = 1 , 2\) のとき
\(s_{1}=4\)、\(s_{2}=18\) なので自然数となる．
(ⅱ) \(k≧3\) で \(n = k-2 , k-1\) のとき
\(s_{n}\) が自然数であると仮定する．
つまり、\(s_{k-2}\)、\(s_{k-1}\) が自然数と仮定する．
(１)より \(s_{k}=4s_{k-1}+s_{k-2}\) なので、
\(s_{k}\) は自然数となる．
(ⅰ)、(ⅱ)より、\(s_{n}\) は自然数となる．
※この証明は、覚えてもいいぐらいの超有名問題！
数学的帰納法(２段仮定)については、
を確認しましょう！
\(\alpha^{2003}\) 以下の最大の整数は、\(s_{2003}\) である．
１の位 ⇒ mod 10 で考える
以下、mod 10 として考える．
\(s_{1}=4\)、\(s_{2}=18≡8\)、\(s_{3}=76≡6\) 、
\(s_{n}=4s_{n-1}+s_{n-2}\) より、
\(s_{4}=4s_{3}+s_{2}≡4\times6+8≡2\)
\(s_{5}=4s_{4}+s_{3}≡4\times2+6≡4\)
\(s_{6}=4s_{5}+s_{4}≡4\times4+2≡8\)
・・・
\(s_{n}=4s_{n-1}+s_{n-2}\) より、連続する \(2\) つの項によって次の項の \(1\) の位の数は \(4\)、\(8\)、\(6\)、\(2\) を繰り返す．
\(2003=4\times500+3\) より、\(s_{2003}\) の \(1\) の位の数は \(6\)
したがって、\(\alpha^{2003}\) 以下の最大の整数の \(1\) の位の数は \(6\)
類題演習：2017東京大学
【2017東京大学・第４問・文理共通】
\(p=2+\sqrt{5}\) とおき、自然数 \(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\) に対して
\(a_{n}=p^n+\left(-\displaystyle\frac{1}{p}\right)^n\)
と定める．以下の問いに答えよ．
(１) \(a_{1}\)、\(a_{2}\) の値を求めよ．
(２) \(n≧2\) とする．積 \(a_{1}a_{n}\) を、\(a_{n+1}\) と \(a_{n-1}\) を用いて表せ．
(３) \(a_{n}\) は自然数であることを示せ．
(４) \(a_{n+1}\) と \(a_{n}\) の最大公約数を求めよ．
本問(2003年東京大学)との類題です。演習にどうぞ！
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