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【2020京都大学・第3問(文)】mn^2+am^2+n^2+8が16で割り切れる整数m,n|整数問題

数学(大学入試問題)

【2020京都大学・第3問(文)】

\(a\) を奇数とし,整数 \(m\) ,\(n\) に対して,

\(f(m,n)=mn^2+am^2+n^2+8\)

とおく.\(f(m,n)\) が \(16\) で割り切れるような整数 \(( m , n )\) が存在するための \(a\) の条件を求めよ.

考え方:偶数・奇数に注目

\(f(m,n)\) が \(16\) で割り切れるためには,\(f(m,n)\) が偶数ある必要がある.

\(a\) は奇数であるから

( ⅰ ) \(m\),\(n\) がともに奇数のとき

\(mn^2\),\(am^2\),\(n^2\) はそれぞれ奇数

つまり,\(f(m,n)\) は奇数となり,題意を満たすことはない!

( ⅱ) \(m\),\(n\) の一方が偶数,もう一方が奇数のとき

\(mn^2\) は偶数,\(am^2+n^2\) は奇数

つまり,\(f(m,n)\) は奇数となり,題意を満たすことはない!

👉 \(f(m,n)\) が \(16\) で割り切れるためには,\(m\) , \(n\) がともに偶数ある必要がある.

👉 整数 \(p\),\(q\) を用いて,\(m=2p\),\(n=2q\) とおける.

解答

\(m\),\(n\) の偶数・奇数について考えると,題意を満たすためには

\(m\),\(n\) がともに偶数である必要がある.

よって,整数 \(p\),\(q\) を用いて,\(m=2p\),\(n=2q\) とおける.

\(f(m,n)=8pq^2+4ap^2+4q^2+8\)

\(f(m,n)=4(2pq^2+ap^2+q^2+2)\) であるから,

\(g(p,q)=2pq^2+ap^2+q^2+2\) とおくと,

題意を満たすためには,\(g(p,q)\) が \(4\) で割り切れればよい.

 

( ⅰ ) \(p\),\(q\) の一方が奇数,もう一方が偶数のとき

\(2pq^2\) は偶数,\(ap^2+q^2\) は奇数より,\(g(p,q)\) は奇数となり不適.

( ⅱ ) \(p\),\(q\) がともに偶数のとき

整数 \(x\),\(y\) を用いて,\(p=2x\) , \(q=2y\) とおける

\(g(p,q)=16xy^2+4ax^2+4y^2+2\)

\(g(p,q)=4(4xy^2+ax^2+y^2)+2\)

よって,\(4\) で割ると \(2\) 余る数であるから不適.

( ⅲ ) \(p\),\(q\) がともに奇数のとき

整数 \(x\),\(y\) を用いて,\(p=2x+1\) , \(q=2y+1\) とおける

\(g(p,q)=2(2x+1)(2y+1)^2+2a(2x+1)^2+2(2y+1)^2+2\)

\(g(p,q)=4(4xy^2+4xy+x+3y^2+3y+ax^2+ax+1)+a+1\)

題意を満たすには,

\(a+1\) が \(4\) で割り切れればよい.

したがって, \(a\) は \(4\) で割って \(3\) 余る整数 

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