【2020群馬大学・医学部】漸化式(3+2√2)^n=an+√2bnの一般項、an/bnの極限

解答・解説

(１)　すべての自然数 $n$ について $a_{n}^2-2b_{n}^2=1$

すべての自然数 $n$ についての証明ですから，

「数学的帰納法」を考えてみましょう！

( ⅰ )　$n=1$ のとき

$3+2\sqrt{2}=a_{1}+\sqrt{2}b_{1}$ となり，$a_{1}$，$b_{1}$ は整数，$\sqrt{2}$ は無理数であるから，

$a_{1}=3$，$b_{1}=2$ となる．

よって，$a_{1}^2-2b_{1}=3^2-2\cdot 2^2=1$ となり成立．

( ⅱ )　$n=k$ のとき

$a_{k}^2-2b_{k}^2=1$ ・・・① が成立すると仮定する．

また

$a_{k+1}+\sqrt{2}b_{k+1}=(3+2\sqrt{2})^{k+1}$

$=(3+2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})^{k}$

$=(3+2\sqrt{2})(a_{k}+\sqrt{2}b_{k})$

$=(3a_{k}+4b_{k})+\sqrt{2}(2a_{k}+3b_{k})$

ここで，$3a_{k}+4b_{k}$，$2a_{k}+3b_{k}$ は整数，$\sqrt{2}$ は無理数であるから，

$a_{k+1}=3a_{k}+4b_{k}$ ，$b_{k}=2a_{k}+3b_{k}$ となる．

よって，

$a_{k+1}^2-2b_{k+1}^2=(3a_{k}+4b_{k})^2-2(2a_{k}+3b_{k})=a_{k}^2-2b_{k}^2$

①の仮定から，$a_{k+1}^2-2b_{k+1}^2=1$ となり，$n=k+1$ のときも成立

したがって，すべての自然数 $n$ について $a_{n}^2-2b_{n}^2=1$ が成り立つ

(２)　数列 $\left\{a_{n}\right\}$，$\left\{b_{n}\right\}$ の一般項

$(3+2\sqrt{2})^n=a_{n}+\sqrt{2}b_{n}$ ・・・②

(１)の結果から

$(a_{n}+\sqrt{2}b_{n})(a_{n}-\sqrt{2}b_{n})=1$

$(3+2\sqrt{2})^n(a_{n}-\sqrt{2}b_{n})=1$

よって，$a_{n}-\sqrt{2}b_{n}=\displaystyle\frac{1}{(3+2\sqrt{2})^n}$ ・・・③

②，③より

$a_{n}=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{(3+2\sqrt{2})^n+\displaystyle\frac{1}{(3+2\sqrt{2})^n}\right\}$

$b_{n}=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}}\left\{(3+2\sqrt{2})^n-\displaystyle\frac{1}{(3+2\sqrt{2})^n}\right\}$

(３)　極限 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}$

$\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}=\sqrt{2}\cdot\displaystyle\frac{(3+2\sqrt{2})^n+(3+2\sqrt{2})^{-n}}{(3+2\sqrt{2})^n-(3+2\sqrt{2})^{-n}}$

$=\sqrt{2}\cdot\displaystyle\frac{1+(3+2\sqrt{2})^{-2n}}{1-(3+2\sqrt{2})^{-2n}}$

ここで，$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} (3+2\sqrt{2})^{-2n}=0$ なので，求める極限は

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}=\sqrt{2}$