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【2021京都大学・文】垂心の位置ベクトル|頻出・基本問題

数学(大学入試問題)

【2021京都大学・文】

\(\triangle 0AB\) において,\(OA=3\) , \(OB=2\) , \(\angle AOB=60°\) とする.\(\triangle OAB\) の垂心 \(H\) とするとき,\(\overrightarrow{OH}\) を \(\overrightarrow{OA}\) と \(\overrightarrow{OB}\) を用いて表せ.

垂心とは

垂心とは,三角形の各頂点から対辺におろした垂線の交点

 

考え方

① 点 \(H\) は \(\triangle OAB\) 上より共面条件

👉 実数 \(s\) ,  \(t\) を用いて

\(\overrightarrow{OH}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\) とおける

※ 共面条件についての詳細・例題は「

② 点 \(H\) は垂心

👉 \(OH \perp AB\) かつ \(AH \perp OB\)

⇒ \(\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) かつ \(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)

解答

\(\triangle 0AB\) において,\(OA=3\) , \(OB=2\) , \(\angle AOB=60°\) とする.\(\triangle OAB\) の垂心 \(H\) とするとき,\(\overrightarrow{OH}\) を \(\overrightarrow{OA}\) と \(\overrightarrow{OB}\) を用いて表せ.

実数 \(s\) ,  \(t\) を用いて

\(\overrightarrow{OH}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\) とおける

点 \(H\) は垂心より,\(OH \perp AB\) かつ \(AH \perp OB\)

・\(OH \perp AB\) のとき

\(\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) より

\(\overrightarrow{OH}\cdot(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=0\)

\((s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB})\cdot(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\)

\((s-t)\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}-s\left| \overrightarrow{OA} \right|^2+t\left| \overrightarrow{OB} \right|^2=0\)

ここで,\(\left|\overrightarrow{OA}\right|=3\) , \(\left|\overrightarrow{OB}\right|=2\) , \(\angle AOB=60°\) より,

\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=3\times 2\times \cos 60°=3\) であるから,

\(3(s-t)-9s+4t=0\) \(\iff\) \(t=6s\) ・・・①

・\(AH \perp OB\) のとき

\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)

\((\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA})\cdot\overrightarrow{OB}=0\)

\((s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\cdot\overrightarrow{OB}=0\)

\((s-1)\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+t\left|\overrightarrow{OB}\right|^2=0\)

\(3s+4t-3=0\) ・・・②

①,②より,\(s=\displaystyle\frac{1}{9}\) ,  \(t=\displaystyle\frac{2}{3}\)

したがって,\(\overrightarrow{OH}=\displaystyle\frac{1}{9}\overrightarrow{OA}+\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}\)

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