【2023早稲田大学・教育学部・第１問(１)】
\(0<b<100\) を満たす実数 \(b\) に対し，点 \((10,b)\) から放物線 \(C\)：\(y=x^2\) に相異なる \(2\) 本の接戦を引き，この \(2\) 本の接線の \(C\) における接点をそれぞれ \(P_{1}\)，\(P_{2}\) とする．実数 \(b\) が \(0<b<100\) の範囲で動くとき，\(3\) 角形 \(OP_{1}P_{2}\) の面積の最大値を求めよ．ただし，\(O\) は原点を表す．
解答・解説
\(y=x^2\) より \(y^{\prime}=2x\)
\(C\) 上の点 \((a,a^2)\) における接線の方程式は
\(y-a^2=2a(x-a)\)
\(y=2ax-a^2\)
これが \((10,b)\) を通るとき
\(b=20a-a^2\)
よって，\(a^2-20a+b=0\) ・・・①
①の判別式を \(D\) とすると
\(\displaystyle\frac{D}{4}=100-b\)
\(0<b<100\) より \(\displaystyle\frac{D}{4}>0\) なので
①は異なる \(2\) つの実数解をもち，それらが \(P_{1}\)，\(P_{2}\) の \(x\) 座標となる．
①の異なる \(2\) つの実数解を \(\alpha\)，\(\beta\) ( \(\alpha<\beta\) ) とおくと
解と係数の関係から
\(\alpha+\beta=20\)，\(\alpha\beta=b\) ・・・②
このとき，\(O(0,0)\)，\(P_{1}(\alpha,\alpha^2)\)，\(P_{2}(\beta,\beta^2)\) を頂点とする三角形の面積 \(S\) は
\(\overrightarrow{OA}=(a_{1},a_{2})\)，\(\overrightarrow{OB}=(b_{1},b_{2})\) のとき
\(\triangle OAB=\displaystyle\frac{1}{2}|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\)
\(S=\displaystyle\frac{1}{2}|\alpha\beta^2-\alpha^2\beta|=\displaystyle\frac{1}{2}|\alpha\beta|(\beta-\alpha)\)
\((\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\) より②から
\((\beta-\alpha)^2=20^2-4b=4(100-b)\)
よって，\(\beta-\alpha=2\sqrt{100-b}\)
ゆえに，\(S=b\sqrt{100-b}=\sqrt{100b^2-b^3}\)
ここで \(f(b)=100b^2-b^3\) とおくと
\(f^{\prime}(b)=-3b^2+200b=-b(3b-200)\)
| \(b\) | \(0\) | ・・・ | \(\displaystyle\frac{200}{3}\) | ・・・ | \(100\) |
| \(f^{\prime}(b)\) | ＋ | \(0\) | ー | ||
| \(f(b)\) | ↗️ | ↘️ |
したがって，\(S\) は \(b=\displaystyle\frac{200}{3}\) のときに
最大値：\(\displaystyle\frac{200}{3}\sqrt{\displaystyle\frac{100}{3}}=\displaystyle\frac{2000\sqrt{3}}{9}\)
コメント