【2021三重大学・後期】複素数zの3乗の虚部が0より大きく27より小さいzを図示

【2021三重大学・教育，工(後期)】

\(z^3=-\overline{z^3}\) で，\(z^3\) の虚部が \(0\) より大きく \(27\) より小さいような複素数 \(z\) の全体を図示せよ．

Point：実数・虚数条件

・\(z\) が実数 \(\iff\) \(\overline{ z } = z\)

・\(z\) が純虚数 \(\iff\) \(\overline{ z } = -z\)、\(z\not=0\)

\(z^3\not=0\)，\(z^3+\overline{z^3}=0\) より，\(z^3\) は純虚数となる．

\(z=r(\cos\theta+i\sin \theta)\) ( \(r>0\)，\(0≦\theta<2\pi\) ) とおく．

\(z^3=r^3(\cos 3\theta+i\sin 3\theta)\)

\(z^3\) の虚部が \(0\) より大きく \(27\) より小さいことから

\(0<r^3<27\) ，\(\cos 3\theta=0\) ，\(\sin 3\theta=1\)

よって，\(0<r<3\) ・・・①

また，\(0≦3\theta<6\pi\) より

\(3\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2},\displaystyle\frac{5\pi}{2},\displaystyle\frac{9\pi}{2}\)

よって，\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{6},\displaystyle\frac{5\pi}{6},\displaystyle\frac{3\pi}{2}\) ・・・②

したがって，①，②を満たす複素数 \(z\) の全体は右図(赤線部分)のようになる．