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今日は日曜日。100万日後は何曜日?2018琉球大学【整数・合同式(mod)】

数学(大学入試問題)

【2018琉球大学】

今日は日曜日で、\(10\) 日後は水曜日である.\(100\) 日後および \(100\) 万日後はそれぞれ何曜日か.理由とともに答えよ.

考え方(合同式の利用)

合同式とは

より詳しい説明については、「合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする」を参考にしてください。具体的な例を用いて説明しています!

 

合同式 mod 7 の利用

今日が日曜日であるから、

  • \(1\) 日後は「月曜日」
  • \(2\) 日後は「火曜日」
  • \(3\) 日後は「水曜日」
  • \(4\) 日後は「木曜日」
  • \(5\) 日後は「金曜日」
  • \(6\) 日後は「土曜日」
  • \(7\) 日後は「日曜日」
  • \(8\) 日後は「月曜日」

・・・・・と繰り返していく.\(7\) つの周期で繰り返すので、\(mod 7\) を利用すると、

 

\(mod 7\) として、今日が日曜日のとき、\(n\) 日後の曜日は

  • \(n≡1\) ⇒ 月曜日
  • \(n≡2\) ⇒ 火曜日
  • \(n≡3\) ⇒ 水曜日
  • \(n≡4\) ⇒ 木曜日
  • \(n≡5\) ⇒ 金曜日
  • \(n≡6\) ⇒ 土曜日
  • \(n≡0\) ⇒ 日曜日

と考えることが出来る.

解答

以下すべて、\(mod 7\) として考える.

\(100=7\times14+2\) より、\(100≡2\)

したがって、\(100\) 日後は火曜日

 

次に、\(100\) 万日後について。

\(1000000=100^3≡2^3=8≡1\)

したがって、\(100\) 万日後は月曜日

 

合同式は整数問題で必須アイテム

そもそも何のために合同式を利用するのか?

  • 解答の表記が簡略化される
  • 複雑な問題において、思考の助けとなる

「(10を3で割った余り)と(7を3で割った余り)が等しい」と言うことを「10≡7 ( mod 3 )」とシンプルに表記できます。たったこれだけ?と言われそうですが、上の例題のような複雑な問題になればなるほど効果は絶大!

また、表記が簡略化されるため、余計な情報が削られ、思考を伴う問題においてもメリットが見られます。ゆえに、整数問題を扱う上で、合同式は必須アイテムです!

合同式を学校で学習していない、自信がない方は、合同式の基礎基本を確認するために

合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする

合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習

を参考にしてください。

合同式を用いた実践に取り組みたい方は、このブログの整数問題のカテゴリーでたくさん取り扱っていますので、是非是非参考にしてください。

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