スポンサーリンク

平面の方程式・点と平面の距離・空間上の直線の方程式・外積の公式まとめ・例題演習

数学(大学入試問題)

数学Bの教科書(発展)には書かれていますが、おそらくほとんどの学校では扱わないテーマです、

しかし、難関大学では頻出テーマでもあり、知っているかどうかで差がつく分野になります。

ここでは「平面の方程式」「直線の方程式」「点と平面の距離の公式」についての説明、そして簡単な例題を用いて使い方を学習しましょう。

平面の方程式(公式・証明)

 

平面の方程式(法線ベクトル)

 

参考(\(x\)切片,\(y\)切片,\(z\)切片を通る平面の方程式)

 

\(x\),\(y\),\(z\) の1次式方程式

👉 平面の方程式

 

平面の方程式(練習問題)

平面の方程式を求めるためには、

① 法線ベクトル

② 通る点

の2つの情報が分かればば良い!

【解答】平面の方程式(練習問題)

 

《参考》外積の利用

※ \(\vec{x}\times\vec{y}\) を \(\vec{x}\) と \(\vec{y}\) の外積という

※ 外積は高校数学では学習しません。(教科書に載っていません)そのため,記述式の答案で使用すると、減点される可能性があります。使用する場合は、記述として解答に残さないこと!

直線の方程式

点と平面の距離の公式・証明

 

点と直線の距離の公式(数学Ⅱ)で学習する公式と形はほぼほぼ同じ!
公式の証明の仕方も同じですので、セットで覚えよう!
※点と直線の距離の公式の証明については、大阪大学で出題されています。

練習問題

(1)平面の方程式の公式利用

(2)の前半:点と面の距離の公式利用

(2)の後半:直線の方程式(媒介変数表示)の利用

(3)三角形の面積公式利用

【超重要公式】三角形の面積公式

この公式は、最重要公式の1つです!

解答

空間の方程式は様々な空間の問題で応用ができます。

また大学によっては頻出テーマでもあります。

授業ではなかなか扱わないからこそ、このようなところで経験値を積んでおきましょう!

下記に類題、また平面の方程式などを利用する総合問題を抜粋しています。演習としてご利用ください!

類題演習

【2021 宮崎大学・改】

\(p\)、\(q\) を正の実数とする.点 \(O\) を原点とする座標空間において、\(4\) 点

\(A ( 1 , 1 , 0 )\)、\(B ( 0 , 2 , 0 )\)、\(C ( 0 , 0 , 6 )\)、\(D ( p , q , 1 )\)

をとる.\(3\) 点 \(A\)、\(B\)、\(C\) を含む平面を \(\alpha\) 、\(\triangle{OAD}\) の面積を \(S\) とする.

点 \(D\) が平面上 \(\alpha\) を動くとき、面積 \(S\) の最小値を求めよ.

解答・考え方は⏬

【難関大学対策】平面の方程式と相加・相乗平均の利用(2021宮崎大学・一部改)
難関大学では頻出の平面の方程式を利用した解法。また頻出重要分野の相加平均相乗平均を用いる総合問題。ベクトルの面積公式、相加平均・相乗平均の関係など、重要ポイントが盛りだくさんの良問。東大、京大、一橋対策。過去問演習。数学B空間ベクトル

その他、平面の方程式・点と面の距離の公式・外積などを利用した入試問題

【2022九州大学】平面に対称な点|外積・平面の方程式・点と面の距離の公式|差がつく良問
学校では学習しないが入試頻出の差がつくテーマ。数学B空間ベクトル。2次試験対策。平面の方程式と平面に関して対称な点。頻出・重要問題。外積、平面の方程式、点と面の距離の公式の利用。
【2022慶應義塾大学・商学部】面積・外積・体積・平面の方程式|差がつく入試問題
頻出のベクトルにおける三角形の面積公式、学校では学習しない外積(両方に垂直なベクトル)、平面の方程式の公式利用。数学B:空間ベクトル。2次試験・私立大学数学対策。差がつく良問。
平面の方程式・正領域と負領域【1993神戸大学・理(後期)】
学校では習わない、差がつく入試問題。数学Bの平面の方程式、数学Ⅱ図形と方程式の正領域・負領域における入試問題演習。新大過去問・2次試験対策。発展

コメント

タイトルとURLをコピーしました