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2021 京都大学(理系:第6問)3^n-2^nが素数ならばnも素数【背理法】

数学(大学入試問題)

【問題】

\(n\) を2以上の整数とする.\(3^n-2^n\) が素数ならば \(n\) も素数であることを示せ.

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

この3つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください!

☆本文に限らず、おさえておきたいこと

「素数」は積の形に弱い!

例:仮に素数 \(p\) に対して、\(p=ab\) の形に式変形をすることが出来れば、

\(a=1\) または \(b=1\) である必要がある.※逆の確認が必要!

 

\(n\) 乗の差の因数分解

\(a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+……+ab^{n-2}+b^{n-1})\)

※これは整数問題に限らず他分野でも使用します.

 

背理法を用いる典型パターン4選

① 無理数の証明

 → 有理数と仮定

② 無限に存在

 → 有限だと仮定

③ \(a=0\) の証明

 → \(a≠0\) と仮定

④ 素数

 → 1または合成数と仮定

※本問では④に該当!

より詳細は【大学受験数学で使える】背理法の典型4パターンを確認してください。

考え方・思考の仕方

\(n\) を2以上の整数とする.\(3^n-2^n\) が素数ならば \(n\) も素数であることを示せ.

《Step1》

・どんな問題であれ、証明問題は、王道の2つ(背理法、数学的帰納法)は一度検討すべき。

→背理法は使用できないか?

→ \(n\) が素数でないと仮定

→つまり \(n\) は1または合成数になると仮定

→\(n≧2\) より 2以上の整数 \(p , q\) を用いて \(n = pq\) と表せる

 

《Step2》

・「整数のPointの1つ目」、「素数」、「\(n\) 乗の差」であることから、因数分解を利用できる?

 

【解答】

\(n\) が素数でないと仮定する.

\(n≧2\) より、2以上の整数 \(p , q\) を用いて \(n = pq\) と表せる.

\(3^{pq} -2^{pq}=(3^p)^q-(2^p)^q \)

\(=(3^p-2^p)\left\{(3^p)^{q-1}+(3^p)^{q-2}\cdot2^p+(3^p)^{q-3}\cdot(2^p)^2+\cdots+3^p \cdot (2^p)^{q-2}+(2^p)^{q-1}\right\}\) ・・・(☆)

《考え方・方針》

(☆)が素数でないことが言えたら条件に矛盾と言える

つまり、(☆)は積の形であるので、\(3^p-2^p\)と\(\left\{(3^p)^{q-1}+(3^p)^{q-2}\cdot2^p+(3^p)^{q-3}\cdot(2^p)^2+\cdots+3^p \cdot (2^p)^{q-2}+(2^p)^{q-1}\right\}\) がともに2以上であることが言えれば、(☆)は素数でない(合成数である)ことが言える.

\(3^p-2^p=(3-2)(3^{p-1}+3^{p-2}\cdot2+\cdots+2^{p-1})\) \(≧3^{p-1}+2^{p-1}\)

\(p≧2\) より

\(3^p-2^p≧3^{p-1}+2^{p-1}≧3+2=5\) ・・・①

 

また、

\(\left\{(3^p)^{q-1}+(3^p)^{q-2}\cdot2^p+(3^p)^{q-3}\cdot(2^p)^2+\cdots+3^p \cdot (2^p)^{q-2}+(2^p)^{q-1}\right\}\)

\(≧(3^p)^{q-1}+(2^p)^{q-1}≧3+2=5\) ・・・②

 

①、②より

\(3^n-2^n\) が素数とならず矛盾.

したがって\(n\) は素数となる.

最後に

いかがだったでしょうか?

慣れていないと少し難しく感じたかもしれません。

しかし典型的なPointだけを使用する問題。知っているかどうかで差がつきます。

また、ここで紹介したPoint等は他でも類題として様々な大学で出題されています。

考え方をしっかりとマスターし、様々な問題に応用していきましょう!

 

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