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2020 神戸大学・文系(第3問)【場合の数(順列・組合せ)】和が30になる3つの自然数からなる組合せの総数

数学(大学入試問題)

【2020神戸大学・文系】

以下の問に答えよ.

(1) 和が \(30\) になる \(2\) つの自然数からなる順列の総数を求めよ.

(2) 和が \(30\) になる \(3\) つの自然数からなる順列の総数を求めよ.

(3) 和が \(30\) になる \(3\) つの自然数からなる組合せの総数を求めよ.

はじめに

問題は非常にシンプル。

しかし、場合の数(順列と組合せ)の基礎がしっかりとしていないと意外とできません。

入試問題を通して、基礎力の定着を確認しましょう!

 

(1)、(2) 考え方・解答

(1) 和が \(30\) になる \(2\) つの自然数からなる順列の総数を求めよ.

(1) 解答Ⅰ

頑張れば全然書き出せる問題です!

ただただ書き出してみると、

\(( 1 , 29 )\)、\(( 2 , 28 )\)、\(( 3 , 27 )\)、・・・、\(( 28 , 2 )\)、\(( 29 , 1 )\) の \(29\) 通り

本問は、「順列」です.

つまり、\(( 1 , 29 )\) と \(( 29 , 1 )\) は異なるものとしてカウントしなければいけません!

仮に「組合せ」であれば、\(( 1 , 29 )\) と \(( 29 , 1 )\) は同じものとしてカウントされますので、\(( 1 , 29 )\)、\(( 2 , 28 )\)、\(( 3 , 27 )\)、・・・、\(( 14 , 16 )\)、\(( 15 , 15 )\) の \(15\) 通りです.

(1) 解答Ⅱ

解法Ⅰのように頑張って数え上げることは、場合の数・確率の分野では非常に重要なことですが、(2)を意識すると、ただ闇雲に数えるだけでは限界が来ます.

そこで、(2)に繋がる解答を紹介します.

その為に、重複組合せに関する予備知識が必要となりますので、以下の解答が分からない方は、「重複組合せ|場合の数・確率[数学A]」を確認しましょう!(※頻出テーマです!)

「和が \(30\) のなる \(2\) つの自然数からなる順列の総数」は、
自然数 \(x , y\) を用いて、\(x+y=30\) を満たす \(( x , y )\) を求めることと一致します.
つまり、\(30\) 個の「〇」の間の \(29\) カ所から、\(1\) カ所選んで仕切りを入れればよい
したがって、\({}_{29} C_1=29\) 通り

(2) 解答

(2) 和が \(30\) になる \(3\) つの自然数からなる順列の総数を求めよ.

(1)の解答Ⅱと同様に、

\(30\) 個の「〇」の間の \(29\) カ所から、\(2\) カ所選んで仕切りを入れればよい
したがって、\({}_{29} C_2=406\) 通り

(3) 考え方・解答

(2)と(3)の違いについて
例えば、(2)では

\(( x , y , z )=( 5 , 10 , 15 )\)、\(( 5 , 15 , 10 )\)、\(( 10 , 5 , 15 )\)、\(( 10 , 15 , 5 )\)、\(( 15 , 5 , 10 )\)、\(( 15 , 10 , 5 )\) はすべて異なるものとカウントし、\(3! = 6\) 通りと考えています.

しかし(3)では、これらの \(3! = 6\) 通りはすべて同じものとしてカウントする為、\(1\) 通りとなります.

では単純に(3)は、(2)の答えを \(3! = 6\) 通りで割りたいところですが、

\(( x , y , z )=( 1 , 1 , 28 )\) のように同じ数字を含むものを配慮する必要があります.

ちなみに、\(( x , y , z )=( 1 , 1 , 28 )\) のように \(2\) つ同じ数字があるものについては、

(2)では \(( x , y , z )=( 1 , 1 , 28 )\)、\(( 1 , 28 , 1 )\)、\(( 28 , 1 , 1 )\) の \(3\) 通りとカウントされるため、(3)では(2)の答えを \(3\) で割る必要があります.

そう言ったことを配慮しながら解答を作っていきましょう!

(3) 解答

(ア) \(3\) つの数が同じとき

\(( 10 , 10 , 10 )\) の \(1\) 通り

《(2) においても \(1\) 通りとカウント》

(イ) \(2\) つの数が同じとき

\(( 1 , 1 , 28 )\)、\(( 2 , 2 , 26 )\)、・・・、\(( 9 , 9 , 12 )\)、\(( 11 , 11 , 8 )\)、・・・、\(( 14 , 14 , 2 )\)

の \(13\) 通り

《(2)では、それぞれにおいて \(3\) 通りの並び方が存在するため、\(13\times 3=39\) 通りとカウント》

(ウ) \(3\) つの数が異なるとき

この組み合わせが \(n\) 通りあるとする.

《(2)では、それぞれにおいて \(3! = 6\) 通りの並び方が存在するため、\(6n\) 通りとカウント》

(2)、(ア)~(ウ)より

\(1+39+6n=406\)

\(n=61\)

したがって求める組合せの総数は、\(1+13+61=75\) 通り

 

さいごに

いかがだったでしょう?完答出来ましたか?

解答を読めば決して難しくない問題であることが分かると思います。

順列、組合せの違いを何となくで片づけていると、今回の問題はしっかりと完答出来ない(差がついてしまう)ことがあるでしょう.

基礎・基本をしっかりと理解し、入試問題で自信をもって問題に取り組めるように!

場合の数・確率の分野は、苦手とする人が非常に多い分野の \(1\) つです.

逆に言えば、しっかりと基礎基本を身に付けることが出来れば、武器になる分野(差をつけられる)です.しかし闇雲に問題を解いてもなかなか力は付きませんので、\(1\) 度しっかりとしたベースとなる考えを身に付ける必要があります.

そこでお勧めしたい本が、安田亨さんの「ハッとめざめる確率」です.

どのように考えるのか、ただ問題を解くだけでなく、考え方を丁寧に説明してくれた参考書と言うよりも読み物に近い \(1\) 冊です.

この \(1\) 冊でまずしっかりと考え方をおさえた上で問題演習を行うことで、場合の数・確率を武器にできると思います.苦手な方は是非!

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