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\(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}{(-1)^{k}・k・_{10}\rm{C}_{k}}\)|二項定理

数学(大学入試問題)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}{(-1)^{k}・k・_{10}\rm{C}_{k}}\) を計算せよ.

考え方

\(_{n}\rm{C}_{r} \) の和 ☞ 二項定理の利用

【二項定理】

\(\boldsymbol{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} \hspace{0mm} _{n}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{n-k}b^{k}}\)

しかし、二項定理の公式に対応させるためには、もう少し式変形が必要.

そこで、\(_{n}\rm{C}_{r} \) に関しての性質から

\(r\cdot _{n}\rm{C}_{r}=n\cdot _{n-1}\rm{C}_{r-1} \) ・・・ ①

を利用することで上手に処理が出来る.

nCrに関する性質まとめ|二項定理・係数・組合せ
場合の数・確率の組合せで用いるCについての性質まとめ。 Cに関する公式(おさえておきたい3つの公式、二項定理など)のまとめ

 

①を用いると、

\(k_{10}\rm{C}_{k}=10_{10-1}\rm{C}_{k-1}\) となるので、

邪魔な \(k\) が消せる!!

解答

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}{(-1)^{k}・k・_{10}\rm{C}_{k}}\\=\displaystyle\sum_{k=1}^{10}{(-1)^{k}・ 10・_{10-1}\rm{C}_{k-1}}\\=10\displaystyle\sum_{k=1}^{10}{_{9}\rm{C}_{k-1} (-1)^{k}}\\=-10\displaystyle\sum_{k=0}^{9}{_{9}\rm{C}_{k}(-1)^{k}}\\=-10(1+(-1))^9\\=0\)

※\(4\) から \(5\) 行目の変形は、二項定理からの派生公式

\(\boldsymbol{(1+x)^{n}=_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{0}+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{1}x+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{2}x^{2}+\cdots+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n-1}x^{n-1}+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n}x^{n}}\)

に \(x=-1\) を代入した.

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