\(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}{(-1)^{k}・k・_{10}\rm{C}_{k}}\) を計算せよ．
考え方
\(_{n}\rm{C}_{r} \) の和 ☞ 二項定理の利用
【二項定理】
\(\boldsymbol{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} \hspace{0mm} _{n}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{n-k}b^{k}}\)
しかし、二項定理の公式に対応させるためには、もう少し式変形が必要．
そこで、\(_{n}\rm{C}_{r} \) に関しての性質から
\(r\cdot _{n}\rm{C}_{r}=n\cdot _{n-1}\rm{C}_{r-1} \) ・・・ ①
を利用することで上手に処理が出来る．
nCrに関する性質まとめ|二項定理・係数・組合せ
場合の数・確率の組合せで用いるＣについての性質まとめ。
Ｃに関する公式(おさえておきたい３つの公式、二項定理など)のまとめ
mathmathmanabu.com
2021.11.22
①を用いると、
\(k_{10}\rm{C}_{k}=10_{10-1}\rm{C}_{k-1}\) となるので、
邪魔な \(k\) が消せる！！
解答
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}{(-1)^{k}・k・_{10}\rm{C}_{k}}\\=\displaystyle\sum_{k=1}^{10}{(-1)^{k}・ 10・_{10-1}\rm{C}_{k-1}}\\=10\displaystyle\sum_{k=1}^{10}{_{9}\rm{C}_{k-1} (-1)^{k}}\\=-10\displaystyle\sum_{k=0}^{9}{_{9}\rm{C}_{k}(-1)^{k}}\\=-10(1+(-1))^9\\=0\)
コメント