【2022千葉大学】積分(数学Ⅲ)と極限

解答・解説

(１) \(e^{-\frac{1}{n}}≦A(m,n)≦1\) を証明

\(0≦x≦\displaystyle\frac{1}{n}\) のとき

\(-\displaystyle\frac{1}{n}≦-x≦0\)

\(e^{-\frac{1}{n}}≦e^{-x}≦e^0=1\)

各辺に \(x^m\) (\(≧0\)) をかけると

\(e^{-\frac{1}{n}}\cdot x^m≦x^m e^{-x}≦x^m\)

\(\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0}e^{-\frac{1}{n}}\cdot x^m dx≦\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0} x^m e^{-x}dx≦\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0}x^m dx\)

\(\Bigl[\displaystyle\frac{1}{m+1}e^{-\frac{1}{n}}x^{m+1}\Bigr]^{\frac{1}{n}}_{0}≦\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0} x^m e^{-x}dx≦\Bigl[\displaystyle\frac{1}{m+1}x^{m+1}\Bigr]^{\frac{1}{n}}_{0}\)

\(\displaystyle\frac{e^{-\frac{1}{n}}}{(m+1)n^{m+1}}≦\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0} x^m e^{-x}dx≦\displaystyle\frac{1}{(m+1)n^{m+1}}\)

各辺に \((m+1)n^{m+1}\) (>0) をかけると

\(e^{-\frac{1}{n}}≦A(m,n)≦1\)

(２) \(b_{m}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} A(m,n)\)

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}e^{-\frac{1}{n}}=1 \) なので，(１)の結果から

はさみうちの原理より，

\(b_{m}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} A(m,n)=1\)

(３) \(c_{n}=\displaystyle\lim_{m\rightarrow\infty} A(m,n)\)

\(\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0}x^me^{-x} dx\)

\(=\Bigl[\displaystyle\frac{1}{m+1}x^{m+1}e^{-x}\Bigr]^{\frac{1}{n}}_{0}-\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0}\displaystyle\frac{1}{m+1}x^{m+1}\cdot (-e^{-x}) dx\)

\(=\displaystyle\frac{e^{-\frac{1}{n}}}{(m+1)n^{m+1}}+\displaystyle\frac{1}{m+1}\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0}x^{m+1}e^{-x} dx\)

\((m+1)n^{m+1}\) 倍すると

\(A(m,n)=e^{-\frac{1}{n}}+n^{m+1}\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0}x^{m+1}e^{-x} dx\)

\(=e^{-\frac{1}{n}}+\displaystyle\frac{1}{(m+2)n}(m+2)n^{m+2}\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0}x^{m+1}e^{-x} dx\)

\(=e^{-\frac{1}{n}}+\displaystyle\frac{1}{(m+2)n}A(m+1,n)\)

(１)より \(e^{-\frac{1}{n}}≦A(m+1,n)≦1\) なので \(\displaystyle\lim_{m\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{1}{(m+2)n}A(m+1,n)=0\)

よって，\(c_{n}=\displaystyle\lim_{m\rightarrow\infty} A(m,n)=e^{-\frac{1}{n}}\)