【2022千葉大学・第8問】
正の整数 \(m\),\(n\) に対して,
\(A(m,n)=(m+1)n^{m+1}\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0}x^me^{-x} dx\)
とおく.
(1) \(e^{-\frac{1}{n}}≦A(m,n)≦1\) を証明せよ.
(2) 各 \(m\) に対して,\(b_{m}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} A(m,n)\) を求めよ.
(3) 各 \(n\) に対して,\(c_{n}=\displaystyle\lim_{m\rightarrow\infty} A(m,n)\) を求めよ.
解答・解説
(1) \(e^{-\frac{1}{n}}≦A(m,n)≦1\) を証明
\(0≦x≦\displaystyle\frac{1}{n}\) のとき
\(-\displaystyle\frac{1}{n}≦-x≦0\)
\(e^{-\frac{1}{n}}≦e^{-x}≦e^0=1\)
各辺に \(x^m\) (\(≧0\)) をかけると
\(e^{-\frac{1}{n}}\cdot x^m≦x^m e^{-x}≦x^m\)
\(\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0}e^{-\frac{1}{n}}\cdot x^m dx≦\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0} x^m e^{-x}dx≦\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0}x^m dx\)
\(\Bigl[\displaystyle\frac{1}{m+1}e^{-\frac{1}{n}}x^{m+1}\Bigr]^{\frac{1}{n}}_{0}≦\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0} x^m e^{-x}dx≦\Bigl[\displaystyle\frac{1}{m+1}x^{m+1}\Bigr]^{\frac{1}{n}}_{0}\)
\(\displaystyle\frac{e^{-\frac{1}{n}}}{(m+1)n^{m+1}}≦\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0} x^m e^{-x}dx≦\displaystyle\frac{1}{(m+1)n^{m+1}}\)
各辺に \((m+1)n^{m+1}\) (>0) をかけると
\(e^{-\frac{1}{n}}≦A(m,n)≦1\)
(2) \(b_{m}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} A(m,n)\)
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}e^{-\frac{1}{n}}=1 \) なので,(1)の結果から
はさみうちの原理より,
\(b_{m}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} A(m,n)=1\)
(3) \(c_{n}=\displaystyle\lim_{m\rightarrow\infty} A(m,n)\)
\(\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0}x^me^{-x} dx\)
\(=\Bigl[\displaystyle\frac{1}{m+1}x^{m+1}e^{-x}\Bigr]^{\frac{1}{n}}_{0}-\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0}\displaystyle\frac{1}{m+1}x^{m+1}\cdot (-e^{-x}) dx\)
\(=\displaystyle\frac{e^{-\frac{1}{n}}}{(m+1)n^{m+1}}+\displaystyle\frac{1}{m+1}\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0}x^{m+1}e^{-x} dx\)
\((m+1)n^{m+1}\) 倍すると
\(A(m,n)=e^{-\frac{1}{n}}+n^{m+1}\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0}x^{m+1}e^{-x} dx\)
\(=e^{-\frac{1}{n}}+\displaystyle\frac{1}{(m+2)n}(m+2)n^{m+2}\displaystyle\int^{\frac{1}{n}}_{0}x^{m+1}e^{-x} dx\)
\(=e^{-\frac{1}{n}}+\displaystyle\frac{1}{(m+2)n}A(m+1,n)\)
(1)より \(e^{-\frac{1}{n}}≦A(m+1,n)≦1\) なので \(\displaystyle\lim_{m\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{1}{(m+2)n}A(m+1,n)=0\)
よって,\(c_{n}=\displaystyle\lim_{m\rightarrow\infty} A(m,n)=e^{-\frac{1}{n}}\)
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