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2022九州大学・理・第3問【整数問題】n^4=1+210m^2 を満たす自然数(m,n)の組

数学(大学入試問題)

2022九州大学・理【整数問題】

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

(1)考え方・解答

(1)考え方

整数問題の極意は実験!

方針がつかめない場合については、とにかく実験しましょう!

具体的に実験することで、規則や法則をみつけ、答えを予想しましょう!

 

[範囲の絞り込み]

\(n^4=1+210m^2\) ・・・①

\(m\)、\(n\) は自然数なので、\(m≧1\) より

\(n^4=1+210m^2≧211\)

よって \(n≧4\) となる.

[実験]

・\(n=4\) のとき

\(\left(\displaystyle\frac{n^2+1}{2},\displaystyle\frac{n^2-1}{2}\right)=\left(\displaystyle\frac{17}{2},\displaystyle\frac{15}{2}\right)\) となり、

整数にならないため不適

☞ \(n\) が偶数のとき

\(n^2+1\)、\(n^2-1\) は奇数となり、\(\displaystyle\frac{n^2+1}{2}\)、\(\displaystyle\frac{n^2-1}{2}\) は整数とならない

☞ \(n\) は奇数となることを示さなければいけない

・\(n=5\) のとき

\(\left(\displaystyle\frac{n^2+1}{2},\displaystyle\frac{n^2-1}{2}\right)=(13,12)\)

・\(n=7\) のとき

\(\left(\displaystyle\frac{n^2+1}{2},\displaystyle\frac{n^2-1}{2}\right)=(25,24)\)

・\(n=9\) のとき

\(\left(\displaystyle\frac{n^2+1}{2},\displaystyle\frac{n^2-1}{2}\right)=(41,40)\)

☞ \(n\) が奇数のとき、\(\left(\displaystyle\frac{n^2+1}{2},\displaystyle\frac{n^2-1}{2}\right)\) は連続する \(2\) 整数となる

☞ 連続する \(2\) 整数が互いに素となることを示せばよい

したがって、

題意を示すためには次の \(2\) つを示せばよい

(ⅰ) \(n\) は奇数

(ⅱ) 連続する \(2\) 整数が互いに素

(1)解答

\(n^4=1+210m^2\) ・・・① より

\((n^2+1)(n^2-1)=210m^2\) ・・・②

\(n\) が偶数と仮定すると、\(n^2+1\)、\(n^2-1\) はともに奇数となり、

②の左辺は奇数となる.しかし②の右辺は偶数であるから、矛盾する.

したがって、\(n\) は奇数となる.

\(n\) が奇数のとき、\(\displaystyle\frac{n^2+1}{2}\)、\(\displaystyle\frac{n^2-1}{2}\) はともに整数となる.

次に、\(N\) を整数として、

\(N=\displaystyle\frac{n^2-1}{2}\) とおくと、\(\displaystyle\frac{n^2+1}{2}=N+1\) となる.

連続する2つの自然数 \(N , N+1\) の最大公約数を \(g\) とおく.

\(\begin{cases}N=ga\\N+1=gb\end{cases}\)

ただし、\(a , b\) は互いに素な自然数で \(a<b\) とおける.

\(2\) 式から \(N\) を消去すると、

\(g(b-a)=1\)

\(b-a>0\)、\(b-a\) は自然数より、\(g=1\)

よって連続する2つの自然数 \(N\)、\(N+1\) は互いに素となる

「連続する2つの整数は互いに素である」ことは1つの性質として覚えておこう!

したがって、\(\displaystyle\frac{n^2-1}{2}\)、\(\displaystyle\frac{n^2+1}{2}\) は互いに素な整数となる.

(2)考え方・解答

(2)考え方

\(168=2^3\times3\times7\) であり、\(2^3\)、\(3\)、\(7\) は互いに素であるから

\(n^2-1\) が「\(2^3\) の倍数」かつ「\(3\) の倍数」かつ「\(7\) の倍数」を示せばよい

 

「\(2^3\) の倍数」について

(1)で \(n\) は奇数であることを確認したので、\(n=2k+1\) として・・・

「\(3\) の倍数」、「\(7\) の倍数」について

②より、\((n^2+1)(n^2-1)=3\times 7\times 10m^2\) なので、

\(n^2+1\)、\(n^2-1\) の少なくとも一方は、\(3\) の倍数、\(7\) の倍数であることは分かる.

[方針]

・\(n^2-1\) が直接 \(3\) や \(7\) の倍数であることを示す

・\(n^2+1\) が \(3\) や \(7\) の倍数でないことを示す

のいずれかで示すことができる.

また、

mod 3 や mod 7 を利用して考えることで、計算処理が楽になる

※合同式を学習していない、不安がある方は、

合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする
合同式とは?2次試験(数学)の整数の分野で合同式が使えるかどうかは大きな差がつきます。合同式を知らない、初めて習った人のための基本性質のまとめ。
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合同式は整数問題を扱う上で必須アイテム!しっかりと使えるようにしておきましょう!

(2)解答

「\(2^3\) の倍数」について

(1)で \(n\) は奇数であることが分かったので、整数 \(k\) を用いて

\(n=2k+1\) とおける.

\(n^2-1=(2k+1)^2-1=4k(k+1)\) となり、\(k(k+1)\) は連続する \(2\)  整数の積であるから、\(2\) の倍数となる.

つまり、\(n^2-1\) は \(8\) の倍数となる.

 

「\(3\) の倍数」について

mod 3 として考える.

・\(n≡0\) のとき \(n^2+1≡1\)

・\(n≡\pm1\) のとき \(n^2+1≡2\)

であるから、\(n^2+1\) は \(3\) の倍数にならない

②より、\((n^2+1)(n^2-1)=3\times 7\times 10m^2\) であるから、

\(n^2-1\) が \(3\) の倍数となる.

 

「\(7\) の倍数」について

mod 7 として考える.

・\(n≡0\) のとき \(n^2+1≡1\)

・\(n≡\pm1\) のとき \(n^2+1≡2\)

・\(n≡\pm2\) のとき \(n^2+1≡5\)

・\(n≡\pm3\) のとき \(n^2+1≡3\)

であるから、\(n^2+1\) は \(7\) の倍数にならない

②より、\((n^2+1)(n^2-1)=3\times7\times10m^2\) であるから、

\(n^2-1\) が \(7\) の倍数となる.

 

\(2^3\)、\(3\)、\(7\) は互いに素であるから

\(n^2-1\) が「\(2^3\) の倍数」かつ「\(3\) の倍数」かつ「\(7\) の倍数」

よって、\(n^2-1\) は \(168\) の倍数となる.

(3)考え方・解答

(3)考え方

「①を満たす自然数の組を \(1\) つ求めよ」であるから、見つければ記述云々は無しに終了である.つまり、適当に代入し、偶然でも見つかればそれでOK!

ただ闇雲に探すのは大変であるから、(1)、(2)の流れから代入する値を絞り込みしていく.

 

(2)より、整数 \(x\) を用いて、

\(n^2=168x+1\) とおける.

\((n^2+1)(n^2-1)=210m^2\) ・・・② に代入すると、

\(168x(168x+2)=210m^2\)

\(2^3\times x(84x+1)=5m^2\) ・・・③

\(84x+1\) は奇数であるので、③の左辺は \(2\) を素因数として少なくとも \(3\) 個もつ.

\(2\) のみに注目すると、③の右辺は \(2\) を素因数として必ず偶数個持つことになるため、

\(x\) は、\(\displaystyle 2^{\text{奇数}}\) を素因数にもつ.

 

また、③の右辺は \(5\) の倍数であるから、

\(x\) または \(84x+1\) が \(5\) の倍数となる.

 

この結果から、例えば \(x\) が \(5\) の倍数として考えてみて、

\(x=2\times5 , 2^3\times5 , 2^5\times5 , \cdots\) を試に代入してみる.

\(x=10\) のとき、

\(n^2=168x+1=1681=41^2\) であるから \(n=41\)

③より、\(2^3\times10\times841=5m^2\)

\(m^2=2^4\times29^2\) より、\(m=116\)

となり、①を満たす自然数の組が \(1\) つ見つかった!

(3)解答

\((m,n)=(116,41)\) を①に代入すると、①は成立する.

したがって、\((m,n)=(116,41)\)

 

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