【2009京都大学】
\(xyz\) 平面上の \(2\) 点 \(A(-3,-1,1)\) , \(B(-1,0,0)\) を通る直線 \(l\) に点 \(C(2,3,3)\) から下ろした垂線の足 \(H\) の座標を求めよ．
本問の一般的な解法は，点 \(H\) をパラメータ表示し，\(\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) を利用して解いていくこと(※一般的な模範解答は記事一番下で紹介)ですが，ここでは正射影ベクトルを用いた解法を紹介していきます。
正射影ベクトルとは？
右図において，
\(\overrightarrow{OH}\) を \(\overrightarrow{OB}\) の \(\overrightarrow{OA}\) に対する正射影ベクトルという．
このとき，\(\overrightarrow{OH}\) は \(\overrightarrow{OA}\) , \(\overrightarrow{OB}\) を用いて
真上から光を当てたときに，
スクリーン ( \(\overrightarrow{OA}\) ) にうつる \(\overrightarrow{OB}\) の影というイメージです！
証明
\(3\) 点 \(O\) , \(H\) , \(A\) は一直線上にあるので，
実数 \(k\) を用いて , \(\overrightarrow{OH}=k\overrightarrow{OA}\) とおける．
このとき \(k\) は，\(\overrightarrow{OA}\) , \(\overrightarrow{OH}\) の大きさを用いて
\(k=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{OH}\right|}{\left|\overrightarrow{OA}\right|}\) ・・・① と表せる．
また \(\triangle OBH\) に注目すると，\(\cos \angle BOH=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{OH}\right|}{\left|\overrightarrow{OB}\right|}\)
よって，\(\left|\overrightarrow{OH}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|\cos \angle BOH\)
①に代入すると
\(k=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{OB}\right|\cos \angle BOH}{\left|\overrightarrow{OA}\right|}\)
分母分子に \(\left|\overrightarrow{OA}\right|\) をかけると
\(k=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{OA}\right|\left|\overrightarrow{OB}\right|\cos \angle BOH}{\left|\overrightarrow{OA}\right|^2}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|^2}\)
したがって，\(\overrightarrow{OH}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|^2}\overrightarrow{OA}\)
正射影ベクトルを利用した解答・解説
【2009京都大学】
\(xyz\) 平面上の \(2\) 点 \(A(-3,-1,1)\) , \(B(-1,0,0)\) を通る直線 \(l\) に点 \(C(2,3,3)\) から下ろした垂線の足 \(H\) の座標を求めよ．
考え方
点 \(H\) の座標を求める
⇒ \(\overrightarrow{OH}\) を求める
⇒ \(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}\) より，\(\overrightarrow{AH}\) を求めれば良い．
⇒ \(\overrightarrow{AH}\) は，\(\overrightarrow{AB}\) の\(\overrightarrow{AC}\) に対する正射影ベクトル
⇒ \(\overrightarrow{AH}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|^2}\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{AB}=(2,1,-1)\) , \(\overrightarrow{AC}=(5,4,2)\) より
\(\left|\overrightarrow{AB}\right|^2=2^2+1^2+(-1)^2=6\) , \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times 5+1\times 4+(-1)\times 2=12\)
\(\overrightarrow{AH}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|^2}\overrightarrow{AB}=\displaystyle\frac{12}{6}\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\)
であるから，
\(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{AB}\)
よって，\(\overrightarrow{OH}=(-3,-1,1)+2(2,1,-1)=(1,1,-1)\)
したがって，\(H (1,1,-1)\)
参考：一般的な模範解答
点 \(H\) は直線 \(AB\) 上の点なので，実数 \(t\) を用いて
\(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}\)
\(=(-3,-1,1)+t(2,1,-1)=(2t-3,t-1,-t+1)\)
よって，\(\overrightarrow{CH}=(2t-5,t-4,-t-2)\)
\(\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) より
\(2(2t-5)+(t-4)-(-t-2)=0\)
よって，\(t=2\)
したがって，\(H (1,1,-1)\)
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