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【2009京都大学】正射影ベクトルとは?正射影ベクトルの利用・演習

数学(大学入試問題)

【2009京都大学】

\(xyz\) 平面上の \(2\) 点 \(A(-3,-1,1)\) , \(B(-1,0,0)\) を通る直線 \(l\) に点 \(C(2,3,3)\) から下ろした垂線の足 \(H\) の座標を求めよ.

本問の一般的な解法は,点 \(H\) をパラメータ表示し,\(\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) を利用して解いていくこと(※一般的な模範解答は記事一番下で紹介)ですが,ここでは正射影ベクトルを用いた解法を紹介していきます。

正射影ベクトルとは?

右図において,

\(\overrightarrow{OH}\) を \(\overrightarrow{OB}\) の \(\overrightarrow{OA}\) に対する正射影ベクトルという.

 

このとき,\(\overrightarrow{OH}\) は \(\overrightarrow{OA}\) , \(\overrightarrow{OB}\) を用いて

\(\overrightarrow{OH}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|^2}\overrightarrow{OA}\)

真上から光を当てたときに,

スクリーン ( \(\overrightarrow{OA}\) ) にうつる \(\overrightarrow{OB}\) の影というイメージです!

証明

\(3\) 点 \(O\) , \(H\) ,  \(A\) は一直線上にあるので,

実数 \(k\) を用いて , \(\overrightarrow{OH}=k\overrightarrow{OA}\) とおける.

このとき \(k\) は,\(\overrightarrow{OA}\) , \(\overrightarrow{OH}\) の大きさを用いて

\(k=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{OH}\right|}{\left|\overrightarrow{OA}\right|}\) ・・・① と表せる.

また \(\triangle OBH\) に注目すると,\(\cos \angle BOH=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{OH}\right|}{\left|\overrightarrow{OB}\right|}\)

よって,\(\left|\overrightarrow{OH}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|\cos \angle BOH\)

①に代入すると

\(k=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{OB}\right|\cos \angle BOH}{\left|\overrightarrow{OA}\right|}\)

分母分子に \(\left|\overrightarrow{OA}\right|\) をかけると

\(k=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{OA}\right|\left|\overrightarrow{OB}\right|\cos \angle BOH}{\left|\overrightarrow{OA}\right|^2}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|^2}\)

したがって,\(\overrightarrow{OH}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|^2}\overrightarrow{OA}\)

正射影ベクトルを利用した解答・解説

【2009京都大学】

\(xyz\) 平面上の \(2\) 点 \(A(-3,-1,1)\) , \(B(-1,0,0)\) を通る直線 \(l\) に点 \(C(2,3,3)\) から下ろした垂線の足 \(H\) の座標を求めよ.

考え方

点 \(H\) の座標を求める

⇒ \(\overrightarrow{OH}\) を求める

⇒ \(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}\) より,\(\overrightarrow{AH}\) を求めれば良い.

⇒ \(\overrightarrow{AH}\) は,\(\overrightarrow{AB}\) の\(\overrightarrow{AC}\) に対する正射影ベクトル

⇒ \(\overrightarrow{AH}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|^2}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{AB}=(2,1,-1)\) , \(\overrightarrow{AC}=(5,4,2)\) より

\(\left|\overrightarrow{AB}\right|^2=2^2+1^2+(-1)^2=6\) , \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times 5+1\times 4+(-1)\times 2=12\)

\(\overrightarrow{AH}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|^2}\overrightarrow{AB}=\displaystyle\frac{12}{6}\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\)

であるから,

\(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{AB}\)

よって,\(\overrightarrow{OH}=(-3,-1,1)+2(2,1,-1)=(1,1,-1)\)

したがって,\(H (1,1,-1)\)

参考:一般的な模範解答

点 \(H\) は直線 \(AB\) 上の点なので,実数 \(t\) を用いて

\(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AB}\)

\(=(-3,-1,1)+t(2,1,-1)=(2t-3,t-1,-t+1)\)

よって,\(\overrightarrow{CH}=(2t-5,t-4,-t-2)\)

\(\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) より

\(2(2t-5)+(t-4)-(-t-2)=0\)

よって,\(t=2\)

したがって,\(H (1,1,-1)\)

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