【2022鹿児島大学】底の変換公式の証明｜対数関数

【2022鹿児島大学・第２問】

次の各問いに答えよ．

(１)　\(a\)，\(b\)，\(c\) が \(1\) でない正の実数のとき，次の等式が成立することを証明せよ．

\(\log_{a}{b}=\displaystyle\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}\)

(２)　\(s=\log_{10}{2}\)，\(t=\log_{10}{3}\) とするとき，\(\log_{30}{600}\) を \(s\) と \(t\) を用いて表せ．

解答・解説

\(\displaystyle\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}=k\) とおく

\(\log_{c}{b}=k\log_{c}{a}=\log_{c}{a^k}\)

よって，\(b=a^k\)

これに底を \(a\) とする対数をとると，

\(\log_{a}{b}=\log_{a}{a^k}=k\)

したがって，\(\log_{a}{b}=\displaystyle\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}\)

(１)の結果から

\(\log_{30}{600}=\displaystyle\frac{\log_{10}{600}}{\log_{10}{30}}\)

ここで，

\(\log_{10}{600}=\log_{10}{2}+\log_{10}{3}+\log_{10}{10^2}=s+t+2\)

\(\log_{10}{30}=\log_{10}{3}+\log_{10}{10}=t+1\)

よって，

\(\log_{30}{600}=\displaystyle\frac{s+t+2}{t+1}\)