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【2022山口大学】aのb乗=bのa乗(a^b=b^a)を満たす正の整数(a≠b)

2022年入試問題

【2022山口大学】

(1) \(x>0\) のとき,関数 \(f(x)=\displaystyle\frac{\log{x}}{x}\) の最大値を求めなさい.ただし,対数は自然対数とする.

(2) 正の整数の組 \((a,b)\) で,\(a^b=b^a\) かつ \(a\not=b\) を満たすものをすべて求めなさい.

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解答・解説

(1) \(x>0\) のとき,\(f(x)=\displaystyle\frac{\log{x}}{x}\) の最大値

\(f(x)=\displaystyle\frac{\log x}{x}\) ( \(x>0\) )

\(f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1-\log x}{x^2}\) より

\(f^{\prime}(x)=0\) とすると

\(\log x=1\) \(\iff\) \(x=e\)

\(x\) \(0\) ・・・ \(e\) ・・・
\(f^{\prime}(x)\) \(0\)
\(f(x)\) ↗️ (極大値) ↘️

よって,\(y=f(x)\) は \(x>0\) において

\(x=e\) のとき,最大値 \(\displaystyle\frac{1}{e}\)

(2) \(a^b=b^a\) かつ \(a\not=b\) を満たす正の整数の組 \((a,b)\)

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +0}f(x)=-\infty \) ,\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0 \) より,関数 \(y=f(x)\) のグラフの概形は右図(黒線部分)のようになる.

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0 \) については頻出の極限問題!証明とセットで覚えておきましょう!証明等については,⏬(下の記事)を参考に!

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\(a^b=b^a\) の両辺に自然対数をとると

\(\log{a^b}=\log{a^b}\)

\(\iff\) \(b\log{a}=a\log{b}\)

\(\iff\) \(\displaystyle\frac{\log{a}}{a}=\displaystyle\frac{\log{b}}{b}\)

よって \(f(a)=f(b)\)

\(b>a>0\) とすると,右上図(赤線部分)に注目すると,

\(1<a<e\) となり,これを満たす正の整数 \(a=2\) のみ

このとき,

\(f(2)=\displaystyle\frac{\log2}{2}=\displaystyle\frac{2\log2}{4}=\displaystyle\frac{\log4}{4}=f(4)\) であるから,

題意を満たす正の整数の組 \((a,b)=(2,4)\)

\(a>b>0\) のときも同様に考え,\((a,b)=(4,2)\)

したがって,\((a,b)=(2,4),(4,2)\)

コメント

  1. 田中 より:

    1<a<e よりa=2の後で、f(2)=f(b)を満たすbってどういう思考をして求めてます?

    • マス学ぶ より:

      コメントありがとうございます。
      (1)のグラフから分かるように、bの値はb>e(=2.7・・・)に1つだけあることは分かります。
      そこで、2^b=b^2を満たすbと考え、b=4であることが分かります。もちろんこの解答でも問題ないと思います。
      今回はf(x)という関数を作成していましたので、上記のような解答を作成しました。
      ある程度答えの検討をつけた上で解答を作成している流れになります。少し分かりにくくて申し訳ありませんでした。

      • 田中 より:

        グラフからe(約2.7)eで単調減少する)という理解でいいですか?
        このサイトわかりやすくて助かってます!

  2. 田中 より:

    なんかコメントミスりました。グラフからeeで単調減少してる)のでa=2b=4がただ一つの解っていう理解でいいですか?

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