【2023京都府立大学・生命環境・第１問】三角比、鈍角三角形、角の二等分線

解答・解説

(1)　\(a=1\) , \(b\) が自然数，\(\angle BAC\) が鈍角であるとき，\(b\) の値

\(a=1\) のとき \(AB=2\) , \(AC=5\) より

三角形の成立条件から \(BC<2+5=7\)

よって \(b<7\) ・・・①

また \(\triangle ABC\) で余弦定理より

\(\cos \theta=\displaystyle\frac{4+25-b^2}{2\cdot 2\cdot 5}=\displaystyle\frac{29-b^2}{20}\)

\(\theta\) が鈍角のとき，\(\cos \theta<0\) より

\(\displaystyle\frac{29-b^2}{20}<0\) \(\iff\) \(29<b^2\)

\(b>0\) より \(\sqrt{29}<b\) ・・・②

①，②，\(b\) は自然数より \(b=6\)

(2)　\(p^2=10a^2-qr\) となることを示せ．

\(\triangle ABD\) で余弦定理より

\(\cos\displaystyle\frac{\theta}{2}=\displaystyle\frac{4a^2+p^2-q^2}{2\cdot 2a\cdot p}=\displaystyle\frac{4a^2+p^2-q^2}{4ap}\)

\(\triangle ADC\) で余弦定理より

\(\cos\displaystyle\frac{\theta}{2}=\displaystyle\frac{p^2+25a^2-r^2}{2\cdot p\cdot 5a}=\displaystyle\frac{p^2+25a^2-r^2}{10ap}\)

よって

\(\displaystyle\frac{4a^2+p^2-q^2}{4ap}=\displaystyle\frac{p^2+25a^2-r^2}{10ap}\)

\(5(4a^2+p^2-q^2)=2(p^2+25a^2-r^2)\)

\(3p^2=30a^2+5q^2-2r^2\) ・・・③

また線分 \(AD\) は \(\angle BAC\) の二等分線より

\(q：r=2a：5a=2：5\) \(\iff\) \(2r=5q\) ・・・④

③より，\(3p^2=30a^2+q\cdot(5q)-r\cdot(2r)\)

④をそれぞれに代入すると

\(3p^2=30a^2+q\cdot 2r-r\cdot 5q\)

したがって，\(p^2=10a^2-qr\) が成立する．

(3)　\(p=\displaystyle\frac{20}{7}a\cdot \cos\displaystyle\frac{\theta}{2}\) となることを示せ．

線分 \(AD\) は \(\angle BAC\) の二等分線より

\(q：r=2a：5a=2：5\) であり，\(q+r=b\) より

\(q=\displaystyle\frac{2}{7}b\) ， \(r=\displaystyle\frac{5}{7}b\) を

(2) の結果 \(p^2=10a^2-qr\) に代入すると

\(p^2=10a^2-\displaystyle\frac{10}{49}b^2\) ・・・⑤

また，\(\triangle ABC\) で余弦定理より

\(b^2=4a^2+25a^2-2\cdot 2a\cdot 5a\cdot \cos\theta\)

\(b^2=29a^2-20a^2\cos\theta\)　を⑤に代入すると

\(p^2=10a^2-\displaystyle\frac{10}{49}(29a^2-20a^2\cos\theta)\)

\(p^2=\displaystyle\frac{200}{49}(1+\cos\theta)\)

\( p^2=\displaystyle\frac{200}{49}\cdot\cos^2\displaystyle\frac{\theta}{2}\)

\(p>0\)，\(a>0\)，\(\cos\displaystyle\frac{\theta}{2}>0\) なので

\(p=\displaystyle\frac{20}{7}a\cdot \cos\displaystyle\frac{\theta}{2}\) が成立