【2022慶應義塾大学】4次関数と二重接線(複接線)で囲まれた図形の面積

(１) 考え方・解答

求める接線 $L$ を $y=ax+b$ とおく．

$x^2(x-1)(x+2)=ax+b$

$x^4+x^3-2x^2-ax-b=0$ ・・・①

ここで，①の解が $C$ と $L$ の接点の $x$ 座標を表すので，接点の $x$ 座標を $\alpha$，$\beta$ ( $\alpha<\beta$ ) とおくと

$x^4+x^3-2x^2-ax-b=(x-\alpha)^2(x-\beta)^2$ ・・・②

$(x-\alpha)^2(x-\beta)^2=x^4-2(\alpha+\beta)x^3+(\alpha^2+4\alpha\beta+\beta^2)x^2-2(\alpha\beta^2+\alpha^2\beta)x+\alpha^2\beta^2$

であるから②より係数を比較して

$1=-2(\alpha+\beta)$ ・・・①

$-2=\alpha^2+4\alpha\beta+\beta^2$ ・・・②

$-a=-2(\alpha\beta^2+\alpha^2\beta)$ ・・・③

$-b=\alpha^2\beta^2$ ・・・④

①より，$\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{1}{2}$ ・・・⑤

②より，$(\alpha+\beta)^2+2\alpha\beta=-2$

⑤を代入すると，$\alpha\beta=-\displaystyle\frac{9}{8}$ ・・・⑥

⑤，⑥より $\alpha$，$\beta$ は

$t^2+\displaystyle\frac{1}{2}t-\displaystyle\frac{9}{8}=0$

つまり，$8t^2+4t-9=0$ の $2$ 解を表すので，

$t=\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{19}}{4}$

よって，$\alpha=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{19}}{4}$，$\beta=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{19}}{4}$

また③より

$a=2\alpha\beta(\alpha+\beta)=\displaystyle\frac{9}{8}$

④より

$b=-\left(-\displaystyle\frac{9}{8}\right)^2=-\displaystyle\frac{81}{64}$

したがって求める直線 $L$ は，$y=\displaystyle\frac{9}{8}x-\displaystyle\frac{81}{64}$

(２) 考え方・解答

4次関数と二重接線で囲まれた図形の面積公式です！

有名な公式ですので，結論は覚えておきましょう！

その上で，下記に示す記述の解答の流れも作れるように！

求める面積 $S$ は

$S=\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}\left\{x^2(x-1)(x+2)-(ax+b)\right\}dx$

$=\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}(x-\alpha)^2(x-\beta)^2dx$

$=\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}(x-\alpha)^2\left\{(x-\alpha)-(\beta-\alpha)\right\}^2dx$

$=\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}(x-\alpha)^2\left\{(x-\alpha)^2-2(\beta-\alpha)(x-\alpha)+(\beta-\alpha)^2\right\}dx$

$=\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}\left\{(x-\alpha)^4-2(\beta-\alpha)(x-\alpha)^3+(\beta-\alpha)^2(x-\alpha)^2\right\}dx$

$=\Bigl[\displaystyle\frac{1}{5}(x-\alpha)^5-\displaystyle\frac{1}{2}(\beta-\alpha)(x-\alpha)^4+\displaystyle\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^2(x-\alpha)^3\Bigr]^{\beta}_{\alpha}$

$=\displaystyle\frac{1}{5}(\beta-\alpha)^5-\displaystyle\frac{1}{2}(\beta-\alpha)^5+\displaystyle\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^5$

$=\displaystyle\frac{1}{30}(\beta-\alpha)^5$

(１)の結果から $\alpha=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{19}}{4}$，$\beta=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{19}}{4}$ より

$\beta-\alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{19}}{2}$ より

$S=\displaystyle\frac{1}{30}\left(\displaystyle\frac{\sqrt{19}}{2}\right)^5=\displaystyle\frac{361\sqrt{19}}{960}$

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2021.09.13