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【1999京都大学】y=x^2上の2点P,Qの中点Rの軌跡(PQと放物線で囲まれた面積が1)

数学(大学入試問題)

【1999京都大学】

放物線 \(y=x^2\) の上を動く \(2\) 点 \(P\) , \(Q\) があって,この放物線と線分 \(PQ\) が囲む部分の面積が常に \(1\) であるとき,\(PQ\) の中点が \(R\) が描く図形の方程式を求めよ.

放物線と直線で囲まれた図形の面積(1/6公式)

放物線 \(y=ax^2+\cdots\) と放物線上の点で \(x=\alpha\) , \(\beta\) を通る直線によって囲まれた図形の面積は

\(S=\displaystyle\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3\)

※ 頻出・重要公式である

\(\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}(x-\alpha)(x-\beta)dx=\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\) を利用する.

この公式の証明については様々な大学で出題されています。

しっかりと証明できるようにしておきましょう!

証明については⏬「2022大阪大学・文」を参考にしてください⏬

【2022大阪大学・文】放物線と直線が囲む図形の面積の最小値(数Ⅱ:微分積分)
最頻出:面積公式(6分の1)の公式の証明と利用。面積の最小値を解と係数の関係を利用して考える。2022阪大・文系過去問解説、演習。共通テスト、2次試験対策。数学Ⅱ:微分積分

解答・解説

\(P (\alpha,\alpha^2)\) , \(Q (\beta,\beta^2)\) とおく.

( \(\alpha<\beta\) として一般性を失わない )

このとき直線 \(PQ\) の方程式は

\(y-\alpha^2=\displaystyle\frac{\beta^2-\alpha^2}{\beta-\alpha}(x-\alpha)\)

\(y=(\alpha+\beta)x-\alpha\beta\)

よって,放物線と線分 \(PQ\) が囲む部分の面積は

\(\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}\left\{(\alpha+\beta)x-\alpha\beta-x^2\right\} dx\)

\(=\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}-(x-\alpha)(x-\beta) dx\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)

これが常に \(1\) となるので,

\(\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3=1\)

\((\beta-\alpha)^3=6\) ・・・①

 

ここで,\(R (x,y)\) とおく

\(R\) は線分 \(PQ\) の中点であるから,

\(x=\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}\) , \(y=\displaystyle\frac{\alpha^2+\beta^2}{2}\)

よって,

\(\alpha+\beta=2x\) ・・・②

\(\alpha^2+\beta^2=2y\) ・・・③

③より

\((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=2y\)

②を代入すると,\(\alpha\beta=2x^2-y\) ・・・④

①より,\(\left\{(\beta-\alpha)^2\right\}^{\frac{3}{2}}=6\) より

\((\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=6^{\frac{2}{3}}\)

②,④を代入すると

\((2x)^2-4(2x^2-y)=\sqrt[3]{36}\)

したがって,\(y=x^2+\displaystyle\frac{\sqrt[3]{36}}{4}\)

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