【2022関西医科大学・医学部・第２問】
関数 \(f(x)\) を \(f(x)=\displaystyle\frac{6x^2+17x+10}{3x-2}\) と定めるとき，以下の設問に答えよ．
(１) \(f(x)>0\) を満たす \(x\) の値の範囲を求めよ．
(２) \(f(x)=Ax+B+\displaystyle\frac{C}{3x-2}\) が \(x\) についての恒等式となるように，定数 \(A\) , \(B\) , \(C\) の値を定めよ．
(３) \(f(n)\) の値が正の整数となるような整数 \(n\) をすべて求めよ．
解答・解説
(１) \(f(x)>0\) を満たす \(x\) の値の範囲
不等式の問題ですから，闇雲に分母をかけるのはNG！！
分母の \(3x-2\) が ” 正 ” or ” 負 ” で場合分けするのが基本的な考え方になりますが，
\((3x-2)^2\) をかけることで場合分けなしで処理できますね！
\(f(x)=\displaystyle\frac{6x^2+17x+10}{3x-2}>0\) の両辺に \((3x-2)^2\) をかけると
\((6x^2+17x+10)(3x-2)>0\)
\(\iff\) \((6x+5)(x+2)(3x-2)>0\)
\(\iff\) \(-2<x<-\displaystyle\frac{5}{6},\displaystyle\frac{2}{3}<x\)
(２) \(f(x)=Ax+B+\displaystyle\frac{C}{3x-2}\) となる定数 \(A\) , \(B\) , \(C\)
\(6x^2+17x+10=(3x-2)(2x+7)+24\) より
\(f(x)=\displaystyle\frac{(3x-2)(2x+7)+24}{3x-2}=2x+7+\displaystyle\frac{24}{3x-2}\)
より， \(A=2\) , \(B=7\) , \(C=24\)
(３)につながる「字数下げ」の考え方です。
(分母の次数) ≦ (分子の次数) のとき
誘導の有無に関わらず，次数下げを行う習慣を！
(３) \(f(n)\) の値が正の整数となるような整数 \(n\)
(１)より \(f(n)>0\) となる整数 \(n\) は，\(-1\) または自然数となるが，
\(f(-1)=\displaystyle\frac{1}{5}\) となり不適
よって \(n\) が自然数のときについて考える．
(２)より
\(f(n)=2n+7+\displaystyle\frac{24}{3n-2}\)
\(f(n)\) が正の整数となるためには，
\(3n-2\) が \(24\) の正の約数となればよい．
\(3n-2\) は \(3\) で割ると \(1\) 余る数であることに注意すると
\(3n-2=1,4\)
よって，\(n=1,2\)
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