スポンサーリンク

m^4+4が素数となる素数mは存在しない【2021 お茶の水女子大学】

数学(大学入試問題)

【2021 お茶の水女子大学 第1問 整数・素数】

次の問いに答えよ.

(1) \(k^2+2\) が素数となるような素 \(k\) をすべて見つけよ.また、それ以外にないことを示せ.

(2) 整数 \(l\) が \(5\) で割り切れないとき、 \(l^4-1\) が \(5\) で割り切れることを示せ.

(3) \(m^4+4\) が素数となるような素数 \(m\) は存在しないことを示せ.



考え方(ポイント)

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1〜3のいずれかで処理できます。

さらに上のポイントに加えて、方針が立たない時は次のポイントを考えましょう。

整数問題の極意 👉 実験する

※規則性や法則を見つけたい

※規則や法則を見つけ、証明を必ず与えるように!

ただ実験して規則や法則を見つけただけでは、ただの予想です!

方針が見えなければ実験!

・\(k=2\) のとき

\(k^2+2=6\) より素数でない

 

・\(k=3\) のとき

\(k^2+2=11\) より素数となり適する

 

・\(k=5\) のとき

\(k^2+2=27\) より素数でない

 

・\(k=7\) のとき

\(k^2+2=51\) より素数でない

 

・\(k=11\) のとき

\(k^2+2=123\) より素数でない

 

【予想】

\(k=3\) のときのみしか答えがない?

\(k≧5\) の素数とのときは\(k^2+2\) は \(3\) の倍数になる??

 

\(3\) の倍数についての証明

→ \(mod 3\) を利用

合同式が不安な方は

合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする

合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習

を参考にしてください。

(1)の解答

(1) \(k^2+2\) が素数となるような素 \(k\) をすべて見つけよ.また、それ以外にないことを示せ.

・\(k=2\) のとき

\(k^2+2=6\) より素数でない

 

・\(k=3\) のとき

\(k^2+2=11\) より素数となり適する

 

・\(k≧5\) のとき

以下、法を \(3\) として考える

\(k\) は \(5\) 以上の素数であるので \(k≡\pm1\) を考えればよい

\( k^2+2≡(\pm1)^2+2≡0\) となり、\(k^2+2\) は \(3\) の倍数となる.

\(3\) の倍数で素数であるのは \(3\) のみであるが、

\(k≧5\) のとき \(k^2+2>3\) であるから、\(k^2+2\) が \(3\) にならない.

したがって、\(k≧5\) のとき \(k^2+2\) が素数になる \(k\) は存在しない.

 

以上より、題意を満たすのは、\(k=3\) のみ

(2)の解答

(2) 整数 \(l\) が \(5\) で割り切れないとき、 \(l^4-1\) が \(5\) で割り切れることを示せ.

\(5\) で割れる・割れないについての証明

→ \(mod 5\) を利用

以下、法を \(5\) として考える

\(l≡\pm1 , \pm2\) のとき

\(l^2≡1 , 4\) より

\(l^4≡1 , 16\) つまり、\(l^4≡1\)

よって、\(l^4-1≡0\)

したがって、\(l^4-1\) は \(5\) で割り切れる

 

(3)の解答

(3) \(m^4+4\) が素数となるような素数 \(m\) は存在しないことを示せ.
(2)の結果を利用して導く

 

・\(m=5\) のとき

\(m^4+4=5^4+4=629=17\times 37\)

であるから、\(m^4+4\) は素数ではない.

 

・\(m­≠5\) のとき

素数 \(m\) は \(5\) で割り切れないので、(2)の結果から、

\(m^4-1≡0\)  \((mod 5)\)

よって、\( m^4+4≡5≡0\)  \((mod 5)\) なので

\(m^4+4\) は \(5\) の倍数である.

 

つまり、\(m^4+4\) が素数と仮定すると、

\(m^4+4=5\) のときのみ

しかし、これを解くと \(m=\pm1\) となり、\(m\) が素数であることに矛盾する

 

したがって

\(m^4+4\) は素数になり得ない.

以上から題意は示された.

 

最後に(類題紹介)

(3)については、(1)と同様に実験をしてから証明する流れでもできる.

しかし、\(4\) 乗の計算が必要となるため、少し計算は大変である.

 

【今回の問題の類題】

【2021 自治医科大学・医】整数問題・素数

2018 京都大学(数学)整数問題

2021 京都大学(文系:第4問) 整数問題

コメント

タイトルとURLをコピーしました