【2023藤田医科大学(前期)】
\((1+i)^n=(1-i)^n\) をみたす \(2023\) 以下の正の整数は何個あるか．
ただし，\(i\) は虚数単位である．
ド・モアブルの定理
ド・モアブルの定理
\(n\) が整数のとき
\((\cos \theta+i\sin \theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\)
解答・解説
\(1+i=\sqrt{2}\left(\cos\displaystyle\frac{\pi}{4}+i\sin\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) ，
\(1-i=\sqrt{2}\left\{\cos\left(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\right\}\) より
ド・モアブルの定理から
\((1+i)^n=\left(\sqrt{2}\right)^n\left(\cos\displaystyle\frac{n\pi}{4}+i\sin\displaystyle\frac{n\pi}{4}\right)\)
\((1-i)^n=\left(\sqrt{2}\right)^n\left\{\cos\left(-\displaystyle\frac{n\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\displaystyle\frac{n\pi}{4}\right)\right\}\) より
\(=\left(\sqrt{2}\right)^n\left(\cos\displaystyle\frac{n\pi}{4}-i\sin\displaystyle\frac{n\pi}{4}\right)\)
よって，
\((1+i)^n=(1-i)^n\) \(\iff\) \(\left(\sqrt{2}\right)^n\sin\displaystyle\frac{n\pi}{4}=0\) より
自然数 \(k\) を用いて
\(\displaystyle\frac{n\pi}{4}=k\pi\) \(\iff\) \(n=4k\)
\(1≦n≦2023\) \(\iff\) \(1≦4k≦2023\) \(\iff\) \(1≦k≦505\)
したがって，題意をみたす正の整数 \(n\) は \(505\) 個
別解
\((1+i)^n=(1-i)^n\) \(\iff\) \(\left(\displaystyle\frac{1+i}{1-i}\right)^n=1\)
\(\iff\) \(i^n=1\) より
自然数 \(k\) を用いて
\(\displaystyle\frac{n\pi}{4}=k\pi\) \(\iff\) \(n=4k\)
\(1≦n≦2023\) \(\iff\) \(1≦4k≦2023\) \(\iff\) \(1≦k≦505\)
したがって，題意をみたす正の整数 \(n\) は \(505\) 個
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