【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ．
８．\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=4\)，\(a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_{n}=0\)
９．\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=5\)，\(a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_{n}=0\)
漸化式は完全暗記もの！
数学が得意不得意に関わらず，ただただパターンを覚えてなければできるようになりません！
特にパターン５以降は，初めの１手を知っているかどうか，その１手さえ突破できれば，あとは基本のパターン１〜４に帰着します。
パターン8：隣接二項間・異なる2実解
\(a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0\)
👉 \(x^2+px+q=0\) \(\iff\) \(x=\alpha,\beta\) のとき
\(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})\)
\(a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_{n})\)
※ \(\alpha = \beta\) ( 重解 ) のときはパターン9へ
与式は，
\(a_{n+2}-2a_{n+1}=3(a_{n+1}-2a_{n})\) ・・・①
\(a_{n+2}-3a_{n+1}=2(a_{n+1}-3a_{n})\) ・・・② と式変形できる．
①より数列 \(\left\{a_{n+1}-2a_{n}\right\}\) は初項：\(a_{2}-2a_{1}=4-2=2\) , 公比：\(3\) の等比数列であるから，
\(a_{n+1}-2a_{n}=2\cdot 3^{n-1}\) ・・・① ’
②より数列 \(\left\{a_{n+1}-3a_{n}\right\}\) は初項：\(a_{2}-3a_{1}=4-3=1\) , 公比：\(2\) の等比数列であるから，
\(a_{n+1}-3a_{n}=2^{n-1}\) ・・・② ’
① ‘ – ② ‘ より
\(a_{n}=2\cdot 3^{n-1}-2^{n-1}\)
パターン9：隣接二項間・重解型
\(a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0\)
👉 \(x^2+px+q=0\) \(\iff\) \(x=\alpha) (重解)のとき
\(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\alpha a_{n})\)
👉 \(n\) 乗型(パターン5) に帰着する
※ \(\alpha ≠ \beta\) ( 異なる2つの実数解 ) のときはパターン8へ
※ \(n\) 乗型(パターン5)は「こちら」
与式は，\(a_{n+2}-3a_{n+1}=3(a_{n+1}-3a_{n})\)
数列 \(\left\{a_{n+1}-3a_{n}\right\}\) は初項：\(a_{2}-3a_{1}=5-3=2\) , 公比：\(3\) の等比数列であるから，
\(a_{n+1}-3a_{n}=2\cdot 3^{n-1}\)
パターン5：\(n\) 乗型に帰着した！
この後の解法手順が不安な方は「こちら」を確認しよう！
両辺を \(3^{n+1}\) で割ると，
\(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}-\displaystyle\frac{3a_{n}}{3^{n+1}}=\displaystyle\frac{2\cdot 3^{n-1}}{3^{n+1}}\)
\(\iff\) \(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\displaystyle\frac{a_{n}}{3^n}+\displaystyle\frac{2}{9}\)
ここで \(b_{n}=\displaystyle\frac{a_{n}}{3^n}\) とおくと，\(b_{1}=\displaystyle\frac{a_{1}}{3}=\displaystyle\frac{1}{3}\) , \(b_{n+1}=b_{n}+\displaystyle\frac{2}{9}\)
パターン１：等差数列型に帰着した！
この後の解法手順が不安な方は「こちら」を確認しよう！
よって，\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{3}+(n-1)\cdot\displaystyle\frac{2}{9}=\displaystyle\frac{2n+1}{9}\)
\(b_{n}=\displaystyle\frac{a_{n}}{3^n}=\displaystyle\frac{2n+1}{9}\)
したがって，\(a_{n}=(2n+1)\cdot 3^{n-2}\)
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