【2023京都工芸繊維大学】積分、単調増加であることの証明

解答・解説

(１)　関数 \(f(x)\) および \(g(x)\) を求めよ．

\(f(x)=\displaystyle\int^{1}_{x^2}\displaystyle\frac{\log{t}}{t}dt\)

\(u=\log{t}\) とおくと

\(du=\displaystyle\frac{1}{t}\cdot dt\)

\(t\)：\(x^2\)\(\rightarrow\)\(1\) のとき \(u\)：\(2\log{x}\)\(\rightarrow\)\(0\) より

\(f(x)=\displaystyle\int^{0}_{2\log{x}}u du\)

\(=\Bigl[\displaystyle\frac{1}{2}u^2\Bigr]^{0}_{2\log{x}}\)

\(=-2\left(\log{x}\right)^2\)

\(g(x)=\displaystyle\int^{1}_{x^2}\displaystyle\frac{\log{t}}{\sqrt{t}}dt\)

\(=\displaystyle\int^{1}_{x^2}t^{-\frac{1}{2}}\cdot\log{t}dt\)

\(=\displaystyle\int^{1}_{x^2}2\left(t^{\frac{1}{2}}\right)^{\prime}\cdot\log{t} dt\)

\(=\Bigl[2t^{\frac{1}{2}}\cdot\log{t}\Bigr]^{1}_{x^2}-\displaystyle\int^{1}_{x^2}2t^{\frac{1}{2}}\cdot\displaystyle\frac{1}{t} dt\)

\(=-2x\log{x^2}-\displaystyle\int^{1}_{x^2}2t^{-\frac{1}{2}} dt\)

\(=-4x\log{x}-\Bigl[4t^{\frac{1}{2}}\Bigr]^{1}_{x^2}\)

\(=-4x\log{x}+4x-4\)

(２)　\(x\) の関数 \(\displaystyle\frac{g(x)}{f(x)}\) は開区間 \((0,1)\) で増加することを示せ．

\(h(x)=\displaystyle\frac{g(x)}{f(x)}\) とおく

(１) の結果から

\(h(x)=\displaystyle\frac{-4x\log{x}+4x-4}{-2\left(\log{x}\right)^2}=\displaystyle\frac{2\left(x\log{x}-x+1\right)}{\left(\log{x}\right)^2}\)

また \(0<x<1\) より \(\log{x}<0\) ・・・①

このとき

\(h^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{2}{\left(\log{x}\right)^4}\left\{\left(\log{x}+1-1\right)\cdot\left(\log{x}\right)^2-\left(x\log{x}-x+1\right)\cdot 2\log{x}\cdot \displaystyle\frac{1}{x}\right\}\)

\(=\displaystyle\frac{2}{x\left(\log{x}\right)^3}\left\{x\left(\log{x}\right)^2-2x\log{x}+2x-2\right\}\)

ここで

\(i(x)=x\left(\log{x}\right)^2-2x\log{x}+2x-2\) とおくと

\(i^{\prime}(x)=\left(\log{x}\right)^2+x\cdot 2\log{x}\cdot\displaystyle\frac{1}{x}-2\left(\log{x}+1\right)+2\)

\(=\left(\log{x}\right)^2>0\) より

\(i(x)\) は単調増加となる．

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1-0}i(x)=1\cdot 0^2-2\cdot 1\cdot 0+2\cdot 1-2=0 \)

よって \(i(x)<0\) ・・・②

①，②より

\(h^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{2}{x\left(\log{x}\right)^3}i(x)>0\)

したがって \(h(x)\) は開区間 \((0,1)\) で増加する．