【2023大阪公立大学・文系・第２問】
数列 \(\left\{a_{n}\right\}\)，\(\left\{b_{n}\right\}\) をそれぞれ
\(a_{n}=\displaystyle\frac{5^{2^{n-1}}-1}{2^{n+1}}\)，\(b_{n}=\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\) \(\left(n=1,2,3,\cdots\right)\)
により定める．ただし，\(5^{2^{n-1}}\) は \(5\) の \(2^{n-1}\) 乗を表す．次の問いに答えよ．
問1 \(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\) を求めよ．
問2 すべての自然数 \(n\) について \(b_{n}\) は整数であることを示せ．
問3 すべての自然数 \(n\) について \(a_{n}\) は整数であることを示せ．
問4 すべての自然数 \(n\) について \(a_{n}\) は奇数であることを示せ．
解答・解説
問1 \(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\) を求めよ．
\(a_{1}=\displaystyle\frac{5^1-1}{2^2}=1\)
\(a_{2}=\displaystyle\frac{5^2-1}{2^3}=3\)
\(a_{3}=\displaystyle\frac{5^4-1}{2^4}=39\)
よって，\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=3\)，\(a_{3}=39\)
問2 すべての自然数 \(n\) について \(b_{n}\) は整数であることを示せ．
\(b_{n}=\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\) より
\(b_{n}=\displaystyle\frac{5^{2^{n}}-1}{2^{n+2}}\cdot\displaystyle\frac{2^{n+1}}{5^{2^{n-1}}-1}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{5^{2^n}-1}{5^{2^{n-1}}-1}\)
ここで，\(5^{2^{n}}-1=\left(5^{2^{n-1}}-1\right)\left(5^{2^{n-1}}+1\right)\) より
\(b_{n}=\displaystyle\frac{5^{2^{n-1}}+1}{2}\)
\(n\) は自然数より \(5^{2^{n-1}}\) は奇数であるから，\(5^{2^{n-1}}+1\) は偶数
したがって，\(b_{n}\) は整数である．
問3 すべての自然数 \(n\) について \(a_{n}\) は整数であることを示せ．
数学的帰納法を用いて証明する．
(ⅰ) \(n=1\) のとき
\(a_{1}=1\) より整数となる．
(ⅱ) \(n=k\) のとき
\(a_{k}\) が整数であると仮定すると
\(b_{k}=\displaystyle\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\) \(\iff\) \(a_{k+1}=a_{k}b_{k}\)
仮定から \(a_{k}\) は整数であり，
また問2の結果から \(b_{k}\) も整数なので
\(a_{k+1}\) は整数となる．
よって \(n=k+1\) のときも成立する．
したがって，すべての自然数 \(n\) について \(a_{n}\) は整数である
問4 すべての自然数 \(n\) について \(a_{n}\) は奇数であることを示せ．
\(5^{2^{n-1}}≡1^{2^{n-1}}=1\) (\(mod 4\)) より
\(5^{2^{n-1}}+1≡2\) (\(mod 4\)) なので
\(5^{2^{n-1}}+1\) は \(2\) の倍数であるが \(4\) の倍数ではない．
つまり，\(b_{n}=\displaystyle\frac{5^{2^{n-1}}+1}{2}\) は奇数となる．
\(a_{k+1}=b_{k}a_{k}\) であり，\(b_{n}\) は奇数より
\(a_{n}\) と \(a_{n+1}\) の偶奇は一致する．
\(a_{1}=1\)(奇数)より，すべての自然数 \(n\) について \(a_{n}\) は奇数である．
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