【2023日本大学・医学部】nが4の倍数でないとき、n^3+2n^2+3n+2が4の倍数の証明

解答・解説

(１)　\(x^3+2x^2+3x+2=4x+4\) の解

\(x^3+2x^2+3x+2=4x+4\)

\(\iff\) \(x^3+2x^2-x-2=0\) ・・・①

\(x=1\) を代入すると①を満たすので

① \(\iff\) \((x-1)(x^2+3x+2)=0\)

\(\iff\) \((x-1)(x+1)(x+2)=0\)

よって，\(x=1,-1,-2\)

(２)　解法① (１)の利用

「\(f(n)=n^3+2n^2+3n+2\) が \(4\) の倍数」であることと

「\(f(n)-(4n+4)=f(n)-4(n+1)\) が \(4\) の倍数」であることは同値であるから，

自然数 \(n\) が \(4\) の倍数でないならば，\(f(n)-(4n+4)\) が \(4\) の倍数であることを示せばよい．

(１)の結果を利用すると

\(f(n)-(4n+4)=(n-1)(n+1)(n+2)\) ・・・②

\(n\) が \(4\) の倍数でないとき，自然数 \(k\) を用いて

\(n=4k-3,4k-2,4k-1\) とおける．

\(n=4k-3\) のとき \(n-1=4(k-1)\)

\(n=4k-2\) のとき \(n+2=4k\)

\(n=4k-1\) のとき \(n+1=4k\)

となり，\(n-1,n+1,n+2\) のいずれかが \(4\) の倍数となる．

したがって②より，

自然数 \(n\) が \(4\) の倍数でないならば，\(f(n)-(4n+4)\) が \(4\) の倍数

つまり，自然数 \(n\) が \(4\) の倍数でないならば，\(f(n)\) が \(4\) の倍数となる．

以下では(１)の誘導なしで，合同式を利用した解法も紹介しておきます。

合同式は整数問題を扱う上で必須アイテムになりますので，しっかりマスターしておきましょう！

合同式とは？合同式の基本性質を理解し、使えるようにする

合同式とは？２次試験（数学）の整数の分野で合同式が使えるかどうかは大きな差がつきます。合同式を知らない、初めて習った人のための基本性質のまとめ。

mathmathmanabu.com

2021.07.15

合同式（基本編）基本的な問題で合同式を使う練習

合同式を使いこなすことで、整数分野の問題（余りに関する問題）を簡略化して処理できる。しかし慣れが必要であるため、基本的な問題を用いて合同式に慣れるための演習問題。 13の100乗を9で割った余り、nの2乗を3で割った余りなど、頻出問題を使って演習。

mathmathmanabu.com

2021.07.17

(２)　解法② 合同式の利用

以下， \(mod 4\) として考える．

・\(n≡-1\) のとき

\(f(n)=n^3+2n^2+3n+2≡0\)

・\(n≡1\) のとき

\(f(n)=n^3+2n^2+3n+2≡8≡0\)

・\(n≡2\) のとき

\(f(n)=n^3+2n^2+3n+2≡24≡0\)

となり，自然数 \(n\) が \(4\) の倍数でないならば，\(f(n)=n^3+2n^2+3n+2\) は \(4\) の倍数である