t=tan(x/2)のとき，sinx,cosx,tanxをtを用いて表せ｜三角関数

\(\tan\displaystyle\frac{x}{2}=t\) とおくとき，

\(\sin x\) , \(\cos x\) , \(\tan x\) を \(t\) を用いて表せ，

【公式！】\(\tan\displaystyle\frac{x}{2}=t\) の置換

\(\tan\displaystyle\frac{x}{2}=t\) とおくとき，

\(\sin x=\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}\)

\(\cos x=\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\)

\(\tan x=\displaystyle\frac{2t}{1-t^2}\)

媒介変数を利用した問題としてこの結果を利用する問題は頻出！

例えば奇跡の問題や，積分(数学Ⅲ)でよく利用します！

・奇跡の問題の例としては

・積分(数Ⅲ)の問題の例としては

様々な導き方があります。ここではその１例として紹介！

また，下記では \(2\) 倍角の公式や半角の公式などを利用します。

三角関数の公式が不安な方は「【三角関数】公式まとめ&差がつく入試問題演習」を確認しておきましょう！

\(\tan x=\tan 2\cdot\displaystyle\frac{x}{2}\) より \(2\) 倍角の公式を用いると

\(\tan x=\displaystyle\frac{2\tan\displaystyle\frac{x}{2}}{1-\tan^2\displaystyle\frac{x}{2}}=\displaystyle\frac{2t}{1-t^2}\)

半角の公式から \(\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}=\displaystyle\frac{1+\cos x}{2}\)

また，\(1+\tan^2\displaystyle\frac{x}{2}=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}}\) より

\(1+\tan^2\displaystyle\frac{x}{2}=\displaystyle\frac{2}{1+\cos x}\)

\(\tan\displaystyle\frac{x}{2}=t\) とおき，逆数をとると

\(\displaystyle\frac{1}{1+t^2}=\displaystyle\frac{1+\cos x}{2}\)

\(\cos x=\displaystyle\frac{2}{1+t^2}-1=\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\)

\(\tan x=\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\) より

\(\sin x=\cos x\tan x\)

上で求めた結果を代入することで，

\(\sin x=\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\cdot\displaystyle\frac{2t}{1-t^2}=\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}\)