\(\tan\displaystyle\frac{x}{2}=t\) とおくとき,
\(\sin x\) , \(\cos x\) , \(\tan x\) を \(t\) を用いて表せ,
【公式!】\(\tan\displaystyle\frac{x}{2}=t\) の置換
\(\tan\displaystyle\frac{x}{2}=t\) とおくとき,
\(\sin x=\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}\)
\(\cos x=\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(\tan x=\displaystyle\frac{2t}{1-t^2}\)
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媒介変数を利用した問題としてこの結果を利用する問題は頻出!
例えば奇跡の問題や,積分(数学Ⅲ)でよく利用します!
・奇跡の問題の例としては
![](https://mathmathmanabu.com/wp-content/uploads/2022/09/IMG_2E595591452C-1-160x90.jpeg)
・積分(数Ⅲ)の問題の例としては
![](https://mathmathmanabu.com/wp-content/uploads/2022/03/IMG_BF8B3F4B0E73-1-160x90.jpeg)
解答・解説
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様々な導き方があります。ここではその1例として紹介!
また,下記では \(2\) 倍角の公式や半角の公式などを利用します。
三角関数の公式が不安な方は「【三角関数】公式まとめ&差がつく入試問題演習」を確認しておきましょう!
\(\tan\displaystyle\frac{x}{2}=t\) のとき \(\tan x\)
\(\tan x=\tan 2\cdot\displaystyle\frac{x}{2}\) より \(2\) 倍角の公式を用いると
\(\tan x=\displaystyle\frac{2\tan\displaystyle\frac{x}{2}}{1-\tan^2\displaystyle\frac{x}{2}}=\displaystyle\frac{2t}{1-t^2}\)
\(\tan\displaystyle\frac{x}{2}=t\) のとき \(\cos x\)
半角の公式から \(\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}=\displaystyle\frac{1+\cos x}{2}\)
また,\(1+\tan^2\displaystyle\frac{x}{2}=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}}\) より
\(1+\tan^2\displaystyle\frac{x}{2}=\displaystyle\frac{2}{1+\cos x}\)
\(\tan\displaystyle\frac{x}{2}=t\) とおき,逆数をとると
\(\displaystyle\frac{1}{1+t^2}=\displaystyle\frac{1+\cos x}{2}\)
\(\cos x=\displaystyle\frac{2}{1+t^2}-1=\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(\tan\displaystyle\frac{x}{2}=t\) のとき \(\sin x\)
\(\tan x=\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\) より
\(\sin x=\cos x\tan x\)
上で求めた結果を代入することで,
\(\sin x=\displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\cdot\displaystyle\frac{2t}{1-t^2}=\displaystyle\frac{2t}{1+t^2}\)
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