【2023大阪医科薬科大学】放物線上の点における法線と、曲線の長さ

解答・解説

(１)　放物線 $C$ の点 $A$ における法線の方程式

$y=x^2$ より $y^{\prime}=2x$ なので，$a\not=0$ のとき点 $A$ における法線の方程式は

$y-a^2=-\displaystyle\frac{1}{2a}(x-a)$ $\iff$ $x+2ay=2a^3+a$ ・・・①

$a=0$ のときの法線は $x=0$ となるが，これは①において $a=0$ を代入したときと一致．

よって求める法線の方程式は，$x+2ay=2a^3+a$

(２)　$Q$ の座標を $a$ を用いて表せ．

(１)の結果から，点 $A$，$B$ における法線の方程式はそれぞれ

$x+2ay=2a^3+a$，$x+2by=2b^3+b$

この $2$ つの法線の交点 $P$ の座標は，

$P\left(-2ab(a+b),a^2+b^2+ab+\displaystyle\frac{1}{2}\right)$

ここで，点 $B$ を点 $A$ に限りなく近づけたとき

$\displaystyle\lim_{b\rightarrow a} \left\{-2ab(a+b)\right\}=-4a^3$

$\displaystyle\lim_{b\rightarrow a} \left(a^2+b^2+ab+\displaystyle\frac{1}{2}\right)=3a^2+\displaystyle\frac{1}{2}$ より

$Q\left(-4a^3,3a^2+\displaystyle\frac{1}{2}\right)$

(３)　$a$ が $-1≦a≦1$ のとき，点 $Q$ が描く曲線の長さ

媒介変数された曲線の長さ

$x=-4a^3$，$y=3a^2+\displaystyle\frac{1}{2}$ より

$x^{\prime}=-12a^2$，$y^{\prime}=6a$ なので

求める曲線の長さは

$\displaystyle\int^{1}_{-1}\sqrt{(-12a^2)^2+(6a)^2} da$

$=12\displaystyle\int^{1}_{0}a\sqrt{4a^2+1} da$

偶関数である性質を利用したよ！

$=12\displaystyle\int^{1}_{0}\displaystyle\frac{1}{8}(4a^2+1)^{\prime}\sqrt{4a^2+1} da$

$=\Bigl[(4a^2+1)^{\frac{3}{2}}\Bigr]^{1}_{0}$

$=5\sqrt{5}-1$

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2023.02.12