【2023早稲田大学・理工・第４問】
複素数平面上に \(2\) 点 \(A(1)\)，\(B(\sqrt{3}i)\) がある．ただし，\(i\) は虚数単位である．複素数 \(z\) に対し \(w=\displaystyle\frac{3}{z}\) で表される点 \(w\) を考える．以下の問に答えよ．
(１) \(z=1\)，\(\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\)，\(\sqrt{3}i\) のときの \(w\) をそれぞれ計算せよ．
(２) 実数 \(t\) に対し \(z=(1-t)+t\sqrt{3}i\) とする．\(\alpha=\displaystyle\frac{3-\sqrt{3}i}{2}\) について，\(\alpha z\) の実部を求め，さらに \((w-\alpha)\overline{(w-\alpha)}\) を求めよ．
(３) \(w\) と原点を結んでできる線分 \(L\) を考える．\(z\) が線分 \(AB\) 上を動くとき，線分 \(L\) が通過する範囲を図示し，その面積を求めよ．
解答・解説
(１)
\(z=1\) のとき \(w=\displaystyle\frac{3}{1}=3\)
\(z=\displaystyle\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\) のとき
\(w=\displaystyle\frac{6}{1+\sqrt{3}i}=\displaystyle\frac{3-3\sqrt{3}i}{2}\)
\(z=\sqrt{3}i\) のときの
\(w=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{3}i}=-\sqrt{3}i\)
(２)
\(z=(1-t)+t\sqrt{3}i\) ，\(\alpha=\displaystyle\frac{3-\sqrt{3}i}{2}\) より
\(\alpha z=\left\{(1-t)+t\sqrt{3}i\right\}\times \displaystyle\frac{3-\sqrt{3}i}{2}\)
\(=\left\{\displaystyle\frac{3}{2}(1-t)+\displaystyle\frac{3}{2}t\right\}+\left\{\displaystyle\frac{3\sqrt{3}t}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}(1-t)\right\}i\)
\(=\displaystyle\frac{3}{2}+\left(2\sqrt{3}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i\)
よって，\(\alpha z\) の実部は \(\displaystyle\frac{3}{2}\)
また，
\((w-\alpha)\overline{(w-\alpha)}\)
\(=(w-\alpha)(\overline{w}-\overline{\alpha})\)
\(=\left(\displaystyle\frac{3}{z}-\alpha\right)\left(\displaystyle\frac{3}{\overline{z}}-\overline{\alpha}\right)\)
\(=\displaystyle\frac{9}{|z|^2}-\displaystyle\frac{3\alpha}{\overline{z}}-\displaystyle\frac{3\overline{\alpha}}{z}+|\alpha|^2\)
\(=-\displaystyle\frac{3}{|z|^2}\left\{\alpha z+\overline{(\alpha z)}-3\right\}+|\alpha|^2\)
\(\alpha z\) の実部は \(\displaystyle\frac{3}{2}\) より，\(\alpha z+\overline{(\alpha z)}=3\)
よって，\((w-\alpha)\overline{(w-\alpha)}=|\alpha|^2\)
\(|\alpha|^2=\left|\displaystyle\frac{3-\sqrt{3}i}{2}\right|^2=\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2+\left(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=3\)
したがって，\((w-\alpha)\overline{(w-\alpha)}=3\)
(３)
線分 \(AB\) 上の点は実数 \(t\) を用いて
\(z=(1-t)+t\sqrt{3}i\) ( \(0≦t≦1\) ) と表せる．
\(\alpha=\displaystyle\frac{3-\sqrt{3}i}{2}\) とすると(２)の結果から
\(|w-\alpha|^2=3\)
つまり \(|w-\alpha|=\sqrt{3}\) なので
点 \(w\) は中心が \(\alpha\)，半径 \(\sqrt{3}\) の円周上にある．
ここで，\(w=\displaystyle\frac{3}{z}\) より
\(arg w=-arg z\) であり，
\(0≦arg z≦\displaystyle\frac{\pi}{2}\) より
\(-\displaystyle\frac{\pi}{2}≦arg w≦0\) となる．
したがって線分 \(L\) が通過する領域は下図の斜線部になる(ただし境界線を含む)．
\(2\) 点 \(3\) と \(-\sqrt{3}i\) の中点が \(\alpha\) より
\(2\) 点 \(3\) と \(-\sqrt{3}i\) を結んだ線分は円の直径となる．
求める面積は，直角三角形と半径 \(\sqrt{3}\) の半円の面積の合計であるから，
\(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 3 \cdot\sqrt{3}+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\left(\sqrt{3}\right)^2\cdot\pi=\displaystyle\frac{3\pi}{2}+\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
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