【2024関西大学・全学部日程(理系)】第４問(５)対数の計算、整数、合同式(4で割った余り)

【2024関西大学・全学部日程(理系)第４問(５)】

\(n\) は \(6\) 以上の自然数とする．

\(\log_{6}{7}\cdot\log_{7}{8}\cdot\log_{8}{9}\cdot\cdots\cdot\log_{n}{(n+1)}\)

が自然数となるような \(n\) はすべて

\(⑥^m-1\) ( \(m\) は \(2\) 以上の自然数 ) の形で表される．

このとき，\(n\) を \(4\) で割ったときの余りは ⑦ である．

覚えておくと便利！

\(\log_{a}{b}\cdot\log_{b}{c}=\log_{a}{c}\)

《証明》底の変換公式を利用して，底を \(a\) にそろえると

\(\log_{a}{b}\cdot\log_{b}{c}=\log_{a}{b}\cdot \displaystyle\frac{\log_{a}{c}}{\log_{a}{b}}=\log_{a}{c}\)

\(\log_{6}{7}\cdot\log_{7}{8}\cdot\log_{8}{9}\cdot\cdots\cdot\log_{n}{(n+1)}\) において

\(\log_{a}{b}\cdot\log_{b}{c}=\log_{a}{c}\) を繰り返し用いると

\(\log_{6}{7}\cdot\log_{7}{8}\cdot\log_{8}{9}\cdot\cdots\cdot\log_{n}{(n+1)}=\log_{6}{(n+1)}\)

これが自然数 \(m\) となるとき

\(m=\log_{6}{(n+1)}\) \(\iff\) \(n=6^m-1\) ( \(m\) は \(2\) 以上の自然数 )

\(n=6^m-1≡2^m-1\) ( \(mod 4\) ) であり，

\(m\) は \(2\) 以上の自然数であるから，\(2^m≡0\) ( \(mod 4\) )

よって \(n≡-1≡3\) ( \(mod 4\) )

したがって，求める余りは \(3\)