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【有名良問】4^x+6^x=9^x を満たす実数 x をすべて求めよ.

数学(大学入試問題)

【問題】

\(4^x+6^x=9^x\) を満たす実数 \(x\) をすべて求めよ.

凄く有名な問題ですので、どこかで一度は見かけたことがあるかもしれません。

ここでは、初見でどのように考えて問題を解いていくのか、考え方を中心にお話ししていきます。

ただただやり方を知っている(一問一答形式)の勉強では、数学は力が付きません。

この問題を通して、他の問題でも役に立つ考え方を身に付けましょう!

考え方・解答

もしも \(x\) が「整数」だったら・・・

整数問題であれば、何はともあれ実験です。

\(x= 1 , 2 , \cdots\) と代入し、法則や規則を見つけることが原則でしたが、残念ながら「\(x\) は実数」ですので、分数だったり、ルートだったりいろいろありすぎるので、実験では厳しい!!

※ちなみに

・\(x=1\) のとき:(左辺)\(=4+6>9=\)(右辺)

・\(x=2\) のとき:(左辺)\(=16+36<81=\)(右辺)

・\(x=3\) のとき:(左辺)\(=64+216<729=\)(右辺)

\(x\) の値が大きくなると、(左辺)<(右辺) となり、どうやら答えは、

\(1<x<2\) にありそうであることは検討が付きます。

ただそれ以上はどうにも・・・

指数問題なので

初見の問題に出会ったときに、何かしら神がかった解法を思い付こうと言うのは無理です!

今まで経験したことのある形に式変形していくしかありませんので、まずはオーソドックスな変形をしてみましょう!

\(4^x+6^x=9^x\) より

\(2^{2x}+2^x\cdot3^x=3^{2x}\)

\(2^x=a\)、\(3^x=b\) とおく (\(a>0\)、\(b>0\)) と、

\(a^2+ab=b^2\) ・・・①

 

おそらく多くの人がここまでは思い付くのではないでしょうか?

さてここからが差がつくポイントです!

「\(2\) 変数」⇒「\(1\) 変数」にしたい!

①の式は、\(a\) と \(b\) という \(2\) 文字あることが厄介。

これはどのような問題でも言えることですが、文字は少なければ少ない方がよい!

そこで、何かしらの工夫を施し、\(1\) 文字にすることは出来ないか??と言う視点で考えてみましょう!

\(a^2\) で割る!
\(a>0\) より、\(a^2\not=0\) なので、①を\(a^2\) で割ると、
\(1+\displaystyle\frac{b}{a}=\left(\displaystyle\frac{b}{a}\right)^2\)

ここで、\(t=\displaystyle\frac{b}{a}\) とおく \(t>0\)

\(t^2-t-1=0\) ・・・②

ここまで来ればあとはOKですね!!

 

②を解くと、

\(t=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)

\(t>0\) より \(t=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

よって、\(\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^x=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

両辺に底を \(\displaystyle\frac{3}{2}\) とする対数をとると、

\(x=\displaystyle\log_{\frac{3}{2}}{\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\)

 

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