スポンサーリンク

整数anのすべてを割り切る素数は?整数問題(実験・合同式mod)の活用【1986東京工業大学】

数学(大学入試問題)

【1986東京工業大学】

整数 \(a_{n}=19^n+(-1)^{n-1}2^{4n-3}\) ( \(n=1,2,3,\cdots\) ) のすべてを割り切る素数を求めよ.

整数問題の極意は実験!

方針が見えなければ,とりあえず実験してみましょう!

整数問題においては,とにかく手を動かす(具体的に代入する・実験する)ことが極めて大切!その実験の中から,規則や法則を見つけていきましょう!

実験( \(n=1,2,\cdots\) )

・\(n=1\) のとき

\(a_{1}=19+2=21=3\times 7\)

・\(n=2\) のとき

\(a_{2}=19^2-2^5=329=7\times 47\)

\(n=1,2\) の実験の結果から,\(a_{1}\) , \(a_{2}\) の両方を割り切る素数は「 \(7\) 」と予想できる

⇒ \(a_{n}\) が \(7\) の倍数であることを示せばよい

倍数に関する証明問題となったので,「合同式」や「数学的帰納法」を利用する方針,また式の形から「二項定理」を利用する解法が考えられるね!ここでは,最も解答がシンプルになる,「合同式」を利用した解答を紹介します。

合同式に不安がある方は⏬を参考に!

合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする

合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習

合同式は整数問題を扱う上で必須アイテムです!

解答:合同式(mod7)の利用

\(2^{4n-3}=2\cdot2^{4n-4}=2\cdot2^{4(n-1)}=2\cdot16^{n-1}\) より

\(a_{n}=19^n+(-1)^{n-1}2\cdot16^{n-1}=19^n+2(-16)^{n-1}\) ・・・①

ここで,以下すべて \(mod 7\) として考えると

\(19≡5\)  ,  \(-16≡5\) であるから①より

\(a_{n}≡5^n+2\cdot5^{n-1}\\=5\cdot5^{n-1}+2\cdot5^{n-1}\\=7\cdot5^{n-1}≡0\)

よって \(a_{n}\) は \(7\) の倍数となる.

また,\(a_{1}=19+2=21=3\times 7\) , \(a_{2}=19^2-2^5=329=7\times 47\) であることから,

題意を満たす素数は \(7\) である.

777の777乗の一の位、7の7乗の7乗の一の位|2021成城大学
一の位は規則性をもつ。実験から周期性を見つける。また周期性を持つことについて、補足として証明を与える。 合同式(mod 10)の利用。数学A整数問題。2次試験対策、定期考査対策。過去問題演習
【整数問題(素数)】n^k+kが素数|実験することの大切さ|2021 東京学芸大学
整数問題の極意は、「実験」から規則・法則を見出し、方針を見つけていくこと! しっかりと手を動かし、実験を行う練習として良問です。

コメント

タイトルとURLをコピーしました