(１)、(２)問題《ア～シ》
(１)、(２)解答・解説《ア〜シ》
\(10\) 進数の \(40\) を，\(6\) 進数に直せばよい
\(40=36+4=1\times6^2+0\times6^1+4\times6^0\) より
\(T_{6}\) は \(104\) ・・・《アイウ》と表示される．
\(2\) 進数 \(10011_{(2)}\) を \(10\) 進数になおすと
\(10011_{(2)}=1\times2^4+0\times2^3+0\times2^2+1\times2^1+1\times2^0=19\)
これを \(4\) 進数に直せばよいので
\(19=16+3=1\times6^2+0\times6^1+3\times6^0=\)\(103\) ・・・《エオカ》と表示される．
(２) \(T_{4}\) をスタートさせた後，初めて表示が \(000\) に戻るのは
\(4^3=\)\(64\) 秒後・・・《キク》である．
同様に，\(T_{6}\) をスタートさせた後，初めて表示が \(000\) に戻るのは
\(6^3=\)\(216\) 秒後である．
つまり，\(T_{4}\) と \(T_{6}\) を同時にスタートさせた後，初めて両方の表示が同時に \(000\) に戻るのは，
\(64\) と \(216\)の最小公倍数．
\(64=2^6\) ， \(216=2^3\times3^3\) より求める値は
\(2^6\times3^3=\)\(1728\) 秒後・・・《ケ～シ》
(３)問題《ス～テ》
(３)解答・解説《ス～テ》
\(T_{4}\) は \(64\) 秒ごとに同じ表示になるので，
\(l\) を \(64\) で割った余りが \(012_{(4)}=0\times4^2+1\times4^1+2\times4^0=\)\(6\) であることは同値・・・《スセソ》
同様に，
\(T_{3}\) は \(3^3=27\) 秒ごとに同じ表示になるので，
\(l\) を \(27\) で割った余りが \(012_{(3)}=0\times3^2+1\times3^1+2\times3^0=\)\(5\) であることは同値
整数 \(x\)，\(y\) を用いて
\(l=64x+6=27y+5\) と表される．
\(-64x+27y=1\) ・・・①
あ①を満たす特殊解を見つけるために \(64\) と \(27\) でユークリッドの互除法を利用する．
\(64=27\times2+10\) \(\iff\) \(10=64-27\times2\) ・・・②
\(27=10\times2+7\) \(\iff\) \(7=27-10\times2\) ・・・③
\(10=7\times1+3\) \(\iff\) \(3=10-7\times1\) ・・・④
\(7=3\times2+1\) \(\iff\) \(1=7-3\times2\) ・・・⑤
④を⑤に代入すると
\(1=7-(10-7\times1)\times2=7\times3-10\times2\)
③を代入すると
\(1=(27-10\times2)\times3-10\times2=27\times3-10\times8\)
②を代入すると
\(1=27\times3-(64-27\times2)\times8=27\times19-64\times8\)
よって①の解の \(1\) つは \((x,y)=(8,19)\)
\(-64x+27y=1\) ・・・①
\(-64\times8+27\times19=1\) の差をとると
\(-64(x-8)+27(y-19)=0\)
\(64(x-8)=27(y-19)\)
\(64\) と \(27\) は互いに素な整数なので
\(x-8\) は \(27\) の倍数となる．
ここで整数 \(k\) を用いて \(x-8=27k\) と表されるので
\(x=27k+8\)
ゆえに \(l=64(27k+8)+6=1728k+518\)
求める値 \(m\) は \(k=0\) のとき，\(518\) ・・・《タチツ》
\(T_{6}\) は \(216\) 秒ごとに同じ表示になるので
\(l\) を \(216\) で割った余りが \(012_{(6)}=8\)
整数 \(z\) を用いて
\(l=64x+6=216z+8\)
\(64x-216z=2\)
\(32x-108z=1\)
\(4(8x-27z)=1\) となるが，
左辺は偶数，右辺は奇数となりこれらを満たす整数は存在しない．
ゆえに，\(T_{4}\) と \(T_{6}\) を同時にスタートさせてから，両方が同時に \(012\) と表示されることはない・・・《テ：③》
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