次の問に答えよ.
(1) 次の条件Aをみたす座標平面上の点 x , y 全体の集合を図示せよ.
条件A:すべての実数 t に対して y≧tx-2t^2 が成立する.
(2) 次の条件Bをみたす座標平面上の点 x , y 全体の集合を図示せよ.
条件B: | t |≦1 をみたすすべての実数 t に対して y≧tx-2t^2 が成立する.
Point・考え方・方針
おさえておきたいPoint2つ!
ある範囲において f(x)≧0
☞ (ある範囲における f(x) の最小値) ≧0
例えば上図のような y=f(x) を考える.
「ある範囲において f(x)≧0」であるとは、
「ある範囲で y=f(x) が x 軸より上側にある 」
と言う状態を表す.
「ある範囲で y=f(x) が x 軸より上側にある 」ことを言うためには、
「y=f(x) の最小値が x 軸より上側にある」ことが言えればよい.
すべての 〇〇 に対して・・・
☞ 〇〇 の関数と考える.
方針
(1) すべての実数 t に対して・・・より、
t の関数と考える.(x , y は定数扱い)
すべての項を左辺に移行し、t について降べきの順に並べると、
2t^2-xt+y≧0
左辺を f(t) とおくと(1)の問題は、
『 すべての実数 t に対して f(t)≧0 が成立する.』
つまり t の 2 次関数として考え、
すべての実数 t に対して、 f(t) の最小値が 0 以上になることを考えればよい.
(2)については、t の範囲が -1≦t≦1 となるので、
-1≦t≦1 において、 f(t) の最小値が 0 以上になることを考えればよい.
【最重要】軸・範囲が動く2次関数の最大値・最小値の場合分けに不安がある人は、

解答
(1) f(t)=2t^2-xt+y とおく.
すべての実数 t に対して、 f(t) の最小値が 0 以上になることを考えればよい.
f(t)=2\displaystyle\left(t-\displaystyle\frac{x}{4}\right)^2-\displaystyle\frac{x^2}{8}+y より
-\displaystyle\frac{x^2}{8}+y≧0
よって、y≧\displaystyle\frac{x^2}{8}
ただし、境界線は含む
(2) -1≦t≦1 において、 f(t) の最小値が 0 以上になることを考えればよい.
f(t)=2\displaystyle\left(t-\displaystyle\frac{x}{4}\right)^2-\displaystyle\frac{x^2}{8}+y より
(ア) \displaystyle\frac{x}{4}<-1 \iff x<-4 のとき
f(-1)=2+x+y≧0 \iff y≧-x-2 ・・・①
(イ) -1≦\displaystyle\frac{x}{4}≦1 \iff -4≦x≦4 のとき
f(\displaystyle\frac{x}{4})=-\displaystyle\frac{x^2}{8}+y≧0 \iff y≧\displaystyle\frac{x^2}{8} ・・・②
(ウ) 1<\displaystyle\frac{x}{4} \iff 4<x のとき
f(1)=2-x+y≧0 \iff y≧x-2 ・・・③
ただし、境界線は含む
(※(ア)は青の領域、(イ)は黒の領域、(ウ)は赤の領域を表している)
類題演習
今回のテーマのPointは、関数の問題において最頻出・超重要問題です。
本問では結果的に 2 次関数として扱いましたが、3 次関数など(数学Ⅲでは何でもあり)形を変えて出題されます.また不等式の証明としても利用できるので、しっかりと考え方をおさえましょう!
類題として



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