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【2021九州大学・文】不等式y≧xt-2t^2の成立条件(2次不等式)最小値

数学(大学入試問題)

次の問に答えよ.

(1) 次の条件Aをみたす座標平面上の点 \( x , y \) 全体の集合を図示せよ.

条件A:すべての実数 \(t\) に対して \(y≧tx-2t^2\) が成立する.

(2) 次の条件Bをみたす座標平面上の点 \( x , y \) 全体の集合を図示せよ.

条件B: \(| t |≦1\) をみたすすべての実数 \(t\) に対して \(y≧tx-2t^2\) が成立する.

Point・考え方・方針

おさえておきたいPoint2つ!

ある範囲において \(f(x)≧0\)

☞ (ある範囲における \(f(x)\) の最小値) \(≧0\)

例えば上図のような \(y=f(x)\) を考える.

「ある範囲において \(f(x)≧0\)」であるとは、

「ある範囲で \(y=f(x)\) が \(x\) 軸より上側にある 」

と言う状態を表す.

「ある範囲で \(y=f(x)\) が \(x\) 軸より上側にある 」ことを言うためには、

「\(y=f(x)\) の最小値が \(x\) 軸より上側にある」ことが言えればよい.

 

すべての 〇〇 に対して・・・

☞  〇〇 の関数と考える.

方針

(1) すべての実数 \(t\) に対して・・・より、

\(t\) の関数と考える.(\(x , y \) は定数扱い)

すべての項を左辺に移行し、\(t\) について降べきの順に並べると、

\(2t^2-xt+y≧0\)

左辺を \(f(t)\) とおくと(1)の問題は、

『 すべての実数 \(t\) に対して \(f(t)≧0\) が成立する.』

つまり \(t\) の 2 次関数として考え、

すべての実数 \(t\) に対して、 \(f(t)\) の最小値が \(0\) 以上になることを考えればよい.

 

(2)については、\(t\) の範囲が \(-1≦t≦1\) となるので、

\(-1≦t≦1\) において、 \(f(t)\) の最小値が \(0\) 以上になることを考えればよい.

 

【最重要】軸・範囲が動く2次関数の最大値・最小値の場合分けに不安がある人は、

【最重要】軸・範囲が動く2次関数の最大値・最小値の場合分け
2次関数の、「軸が動くMax・min問題」や、「範囲の両端が動くMax・min問題」は定期考査、共通テスト(センター試験)、2次試験まで頻出・重要テーマ。場合分けと聞くと苦手である人が多いが、両方のタイプの解法は全く同じで、完全パターンもの。しっかりとパターンを覚え、早く処理できるように例題を交えて演習。



解答

(1) \(f(t)=2t^2-xt+y\) とおく.

すべての実数 \(t\) に対して、 \(f(t)\) の最小値が \(0\) 以上になることを考えればよい.

\(f(t)=2\displaystyle\left(t-\displaystyle\frac{x}{4}\right)^2-\displaystyle\frac{x^2}{8}+y\) より

\(-\displaystyle\frac{x^2}{8}+y≧0\)

よって、\(y≧\displaystyle\frac{x^2}{8}\)

ただし、境界線は含む

境界線を含むかどうかの記述を忘れずに!

 

(2) \(-1≦t≦1\) において、 \(f(t)\) の最小値が \(0\) 以上になることを考えればよい.

\(f(t)=2\displaystyle\left(t-\displaystyle\frac{x}{4}\right)^2-\displaystyle\frac{x^2}{8}+y\) より

 

(ア) \(\displaystyle\frac{x}{4}<-1\) \(\iff\) \(x<-4\) のとき

\(f(-1)=2+x+y≧0\) \(\iff\) \(y≧-x-2\) ・・・①

 

(イ) \(-1≦\displaystyle\frac{x}{4}≦1\) \(\iff\) \(-4≦x≦4\) のとき

\(f(\displaystyle\frac{x}{4})=-\displaystyle\frac{x^2}{8}+y≧0\) \(\iff\) \(y≧\displaystyle\frac{x^2}{8}\) ・・・②

 

(ウ) \(1<\displaystyle\frac{x}{4}\) \(\iff\) \(4<x\) のとき

\(f(1)=2-x+y≧0\) \(\iff\) \(y≧x-2\) ・・・③

ただし、境界線は含む

(※(ア)は青の領域、(イ)は黒の領域、(ウ)は赤の領域を表している)

 

類題演習

今回のテーマのPointは、関数の問題において最頻出・超重要問題です。

本問では結果的に 2 次関数として扱いましたが、3 次関数など(数学Ⅲでは何でもあり)形を変えて出題されます.また不等式の証明としても利用できるので、しっかりと考え方をおさえましょう!

類題として

【一橋大学・過去問】不等式の成立条件(2次不等式)
すべての実数に対して成り立つ2次不等式についての考え方。 また、範囲が与えられた時の2次不等式の考え方について、一橋大学の過去問を用いて解説。
2021 学習院大学・理学部|ある範囲で\(f(x)>0\)を満たす条件[2次不等式]
関数全般で使える頻出Point。ある範囲で\(f(x)>0\)を満たすとき、最小値に注目して処理を行う。 ただ答えを求めるだけでなく、考え方を学ぶための1問。
【数学Ⅱ】不等式の証明(まとめ)解法5つ
大学受験で使える、不等式の証明のまとめ5つ(基本〜発展)。系統的に考え方・思考の仕方のまとめ。定期考査・大学受験対策 3つの相加平均・相乗平均の関係の証明



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