根号(ルート)を含む積分について
※ 基本的公式レベルの問題を除き
(基本公式の確認は「まとめ①」を確認！)
\(Q1\)．三角・指数・対数関数があるか？ ☞ NO！
\(Q2\)．根号 ( ルート ) が入っているか？ ☞ YES！
のパターン(根号(ルート)を含む積分)についての解法まとめのページになっています！
このページで扱う例題は
① \(\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\enspace dx\)
② \(a\) は正の定数とする．
定積分 \(\displaystyle\int^{a}_{0} \sqrt{a^2-x^2}\enspace dx\) を求めよ．
③ \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\enspace dx\)
\(\sqrt{\text{1次式}}\) のとき
例題①
\(t=\sqrt{x+1}\) とおくと \(x=t^2-1\) より
\(dx=2t\cdot dt\)
よって、\(\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\enspace dx\\=\displaystyle\int (t^2-1)t\cdot 2t dt\\=2\displaystyle\int(t^4-t^2)\enspace dt\\=\displaystyle\frac{2}{15}t^3(3t^2-5)+C\\=\displaystyle\frac{2}{15}(3x-2)(x+1)\sqrt{x+1}+C\)
\(\sqrt{\text{2次式}}\) のとき
例題②\(x=a\sin\theta\) と置換
\(a\) は正の定数とする．
定積分 \(\displaystyle\int^{a}_{0} \sqrt{a^2-x^2}\enspace dx\) を求めよ．
\(x=a\sin\theta\) とおくと \(dx=a\cos\theta\cdot d\theta\)
\(x\) が \(0\) \(\rightarrow\) \(a\) のとき
\(\theta\) は \(0\) \(\rightarrow\) \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) より
\(\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}=\sqrt{a^2\cos^2\theta}=a|\cos\theta|\)
\(0≦\theta≦\displaystyle\frac{\pi}{2}\) より、
\(\sqrt{a^2-x^2}=\cos\theta\)
よって、
\(\displaystyle\int^{a}_{0} \sqrt{a^2-x^2}\enspace dx\\=\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} (a\cos\theta)a\cos\theta\cdot d\theta\\=a^2\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \cos^2\theta d\theta\\=\displaystyle\frac{a^2}{2}\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}(1+\cos2\theta)d\theta\\=\displaystyle\frac{a^2}{2}\Bigl[\theta+\displaystyle\frac{1}{2}\sin2\theta\Bigr]^{\frac{\pi}{2}}_{0}\\=\displaystyle\frac{\pi a^2}{4}\)
例題③\(x+\sqrt{x^2+a}=t\) と置換
\(x+\sqrt{x^2+a}=t\) とおく．(☜これは知らないと無理！覚えよう！)
\(\displaystyle\frac{dt}{dx}=1+\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\displaystyle\frac{x+\sqrt{x^2+a}}{\sqrt{x^2+1}}=\displaystyle\frac{t}{\sqrt{x^2+1}}\)
よって、\(\displaystyle\frac{1}{t}\cdot dt=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\cdot dx\)
\(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\enspace dx=\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{t}\cdot dt\\=\log|t|+C=\log(x+\sqrt{x^2+a})+C\)
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