【2022数学ⅡB】第１問[２](指数・対数関数)
(１)問題と解答・解説《ス〜セ》
解答・解説《ス〜セ》
\(\log_{3}{9}=\log_{3}{3^2}=2\log_{3}{3}=\)\(2\) ・・・《ス》
\(\log_{3}{9}=\displaystyle\frac{\log_{3}{3}}{\log_{3}{9}}=\displaystyle\frac{1}{2}\) である
よって，\(\log_{3}{9}>\log_{9}{3}\) が成り立つ
また，\(\log_{\frac{1}{4}}{x}=-\displaystyle\frac{3}{2}\)
\(\iff\) \(x=\left(\displaystyle\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}=4^{\frac{3}{2}}=\left(2^2\right)^{\frac{3}{2}}=\)\(8\) ・・・《セ》
\(\log_{8}{\displaystyle\frac{1}{4}}=\displaystyle\frac{\log_{2}{\displaystyle\frac{1}{4}}}{\log_{2}{8}}=-\displaystyle\frac{2}{3}\) より
\(\log_{\frac{1}{4}}{8}<\log_{8}{\displaystyle\frac{1}{4}}\)
(２)問題と解答・解説《ソ〜タ》
解答・解説《ソ〜タ》
\(\log_{a}{b}=t\) ・・・① とおくと
\(a^t=b\) ・・・《ソ：①》
両辺を \(\displaystyle\frac{1}{t}\) 乗して
\(a=b^{\frac{1}{t}}\) ・・・《タ：①》
よって，\(\log_{b}{a}=\displaystyle\frac{1}{t}\) ・・・② が成り立つ．
(３)問題と解答・解説《チ〜ツ》
解答・解説《チ〜ツ》
\(t>\displaystyle\frac{1}{t}\) ・・・③ を満たす実数 \(t\) ( \(t\not=0\) ) の値の範囲は
・\(t>0\) のとき \(t>1\)
・\(t<0\) のとき \(-1<t<0\)
ここで，\(a\) の値を一つ定めたとき
\(\log_{a}{b}>\log_{b}{a}\) ・・・④ について
( ⅰ ) \(a>1\) のとき
・\(b>1\) ならば，\(t=\log_{a}{b}>\log_{a}{1}=0\) より \(t>1\)
つまり，\(\log_{a}{b}>1=\log_{a}{a}\)
よって，\(b>a\)
・\(0<b<1\) ならば，\(t=\log_{a}{b}<\log_{a}{1}=0\) より \(-1<t<0\)
つまり，\(-1<\log_{a}{b}<0\) \(\iff\) \(\log_{a}{\displaystyle\frac{1}{a}}<\log_{a}{b}<\log_{a}{1}\)
よって，\(\displaystyle\frac{1}{a}<b<1\)
以上から，\(a>1\) のとき \(\displaystyle\frac{1}{a}<b<1\) , \(a<b\) ・・・《チ：③》
( ⅱ ) \(0<a<1\) のとき
・\(b>1\) ならば，\(t=\log_{a}{b}<\log_{a}{1}=0\) より \(-1<t<0\)
つまり，\(-1<\log_{a}{b}<0\) \(\iff\) \(\log_{a}{\displaystyle\frac{1}{a}}<\log_{a}{b}<\log_{a}{1}\)
よって，\(1<b<\displaystyle\frac{1}{a}\)
・\(0<b<1\) ならば，\(t=\log_{a}{b}>\log_{a}{1}=0\) より \(1<t\)
つまり，\(1<\log_{a}{b}\) \(\iff\) \(\log_{a}{a}<\log_{a}{b}\)
よって，\(b<a\)
以上から，\(0<a<1\) のとき \(0<b<a\) , \(1<b<\displaystyle\frac{1}{a}\) ・・・《ツ：⓪》
(４)問題と解答・解説《テ》
解答・解説《テ》
\(p=\displaystyle\frac{12}{13}<1\) , \(q=1+\displaystyle\frac{1}{11}\) , \(r=1+\displaystyle\frac{1}{13}\) より，
\(0<p<1<r<q\)
さらに，
\(pq=\displaystyle\frac{12}{13}\times \displaystyle\frac{12}{11}=\displaystyle\frac{144}{143}>1\) より，\(\displaystyle\frac{1}{p}<q\)
\(pr=\displaystyle\frac{12}{13}\times \displaystyle\frac{14}{13}=\displaystyle\frac{168}{169}<1\) より，\(r<\displaystyle\frac{1}{p}\)
が成り立つ．
\(\log_{p}{q}>\log_{q}{p}\) が成り立つと仮定(選択肢の⓪または①)すると，
\(0<p<1\) であることに注目すると，(３)において \(a=p\) , \(b=q\) と考えると
\(0<q<p\) , \(1<q<\displaystyle\frac{1}{p}\) のとき
しかしこれは上の条件を満たさないため不適．
よって，\(\log_{p}{q}<\log_{q}{p}\) が成り立つ(選択肢の②または③)
また，\(\log_{p}{r}>\log_{r}{p}\) が成り立つ(選択肢の②)とすると
(３)において \(a=p\) , \(b=r\) と考えると
\(o<r<p\) , \(1<r<\displaystyle\frac{1}{p}\) のとき
\(p\) , \(r\) は \(1<r<\displaystyle\frac{1}{p}\) を満たすので，\(\log_{p}{r}>\log_{r}{p}\)
したがって，\(\log_{p}{q}<\log_{q}{p}\) かつ \(\log_{p}{r}>\log_{r}{p}\) ・・・《テ：②》
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