【2008神戸大学】命題の真偽・証明と反例｜x+y≧0かつxy≧0ならばy≧0

【2008神戸大学・理系・第１問】

実数 \(x\) , \(y\) に関する次の各命題の真偽を答えよ．さらに，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．

(１)　\(x>0\) かつ \(xy>0\) ならば，\(y>0\) である．

(２)　\(x≧0\) かつ \(xy≧0\) ならば，\(y≧0\) である．

(３)　\(x+y≧0\) かつ \(xy≧0\) ならば，\(y≧0\) である．

解答・解説

「真」である．

《証明》

\(xy>0\) の両辺を \(x>0\) で割ると

\(\displaystyle\frac{xy}{x}=y>0\)

「偽」である．

《反例》

\(x=0\) , \(y=-1\) のとき，\(x≧0\) かつ \(xy≧0\) を満たすが，\(y≧0\) を満たさない．

「真」である．

《証明》背理法を用いて示す．

\(y<0\) と仮定する．

\(xy≧0\) の両辺を \(y<0\) で割ると

\(\displaystyle\frac{xy}{y}=x≦0\)

これと \(y<0\) より \(x+y<0\)

これは \(x+y≧0\) に矛盾する．

したがって，\(y≧0\)