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相加・相乗・調和平均の関係・証明【2008奈良女子大学】

数学(大学入試問題)

【2008奈良女子大学】

(1) \(2\) つの正の実数 \(a\)、\(b\) ( \(a<b\) ) に対し、次の不等式を示せ.

( ⅰ ) \(\sqrt{ab}<\displaystyle\frac{a+b}{2}<b\)

( ⅱ ) \(a<\displaystyle\frac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}\)

(2) 次の不等式を示せ.

( ⅰ ) \(\displaystyle\frac{1221}{116}<\sqrt{111}<\displaystyle\frac{116}{11}\)

( ⅱ ) \(\displaystyle\frac{283272}{26887}<\sqrt{111}<\displaystyle\frac{26887}{2552}\)

\(2\) 乗平均平方根・相加・相乗・調和平均の大小関係について

まず結論として、有名な不等式の関係です。大学入試で頻出ですので、結果・証明の流れを覚えておきましょう!

( \(2\) 乗平均平方根 ) ≧ (相加平均) ≧ (相乗平均) ≧ (調和平均)

\(a>0\)、\(b>0\) のとき

\(\sqrt{\displaystyle\frac{a^2+b^2}{2}} ≧ \displaystyle\frac{a+b}{2} ≧ \sqrt{ab} ≧ \displaystyle\frac{2}{\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}}\)

等号成立は、\(a=b\) のとき

※調和平均とは、「逆数の平均の逆数」のことを言います.

\(\displaystyle\frac{2}{\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}}=\displaystyle\frac{2ab}{a+b}\)  ですから、2008奈良女子大学の(1)は、相加平均、相乗平均、調和平均の証明問題ということです.

※特に相加・相乗平均については、最重要頻出テーマです!

相加平均・相乗平均の関係はいつ使う?使うタイミングの見抜き方(基本)

相加平均・相乗平均の関係はいつ使う?使うタイミングの見抜き方(発展)

3つの相加・相乗平均の関係|実践問題【慶応義塾大学】

不等式の証明について

『 \(A>B\) を示せ』という不等式の証明の王道の解法は、

\(A-B\) を計算して、これが正 ( \(A-B>0\) ) であることを示せばよい.

それぞれの式において差をとり、正であることを示しましょう!

 

その他の不等式の証明の仕方については、下記に5つの解法をまとめています。

2次試験で数学が必要な方は、頻出・重要な考え方になりますのでご参考に!

【数学Ⅱ】不等式の証明(まとめ)解法5つ
大学受験で使える、不等式の証明のまとめ5つ(基本〜発展)。系統的に考え方・思考の仕方のまとめ。定期考査・大学受験対策 3つの相加平均・相乗平均の関係の証明

(1)解答

( ⅰ ) 相加・相乗平均の関係の証明

(1) \(2\) つの正の実数 \(a\)、\(b\) ( \(a<b\) ) に対し、

( ⅰ ) \(\sqrt{ab}<\displaystyle\frac{a+b}{2}<b\) を示せ.

\(\displaystyle\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\displaystyle\frac{a-2\sqrt{a}\sqrt{b}+b}{2}=\displaystyle\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}>0\)

また、\(b-\displaystyle\frac{a+b}{2}=\displaystyle\frac{b-a}{2}>0\)

したがって、\(\sqrt{ab}<\displaystyle\frac{a+b}{2}<b\)

( ⅱ ) 調和平均・相乗平均の関係の証明

(1) \(2\) つの正の実数 \(a\)、\(b\) ( \(a<b\) ) に対し、

( ⅱ ) \(a<\displaystyle\frac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}\) を示せ.

\(0<a<b\) より逆数をとると、\(\displaystyle\frac{1}{a}>\displaystyle\frac{1}{b}>0\) であるから、

(1) の ( ⅰ ) の結果において、\(a\) を \(\displaystyle\frac{1}{b}\)、\(b\) を \(\displaystyle\frac{1}{a}\) とすると、

\(\sqrt{\displaystyle\frac{1}{b}\cdot\displaystyle\frac{1}{a}}<\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{a}}{2}\)

よって、\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{ab}}<\displaystyle\frac{a+b}{2ab}\)

両辺は正であるから逆数をとると、\(\sqrt{ab}>\displaystyle\frac{2ab}{a+b}\)

また、\(\displaystyle\frac{2ab}{a+b}-a=\displaystyle\frac{a(b-a)}{a+b}>0\)

したがって、\(a<\displaystyle\frac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}\)

(2)解答

(2) 次の不等式を示せ.

( ⅰ ) \(\displaystyle\frac{1221}{116}<\sqrt{111}<\displaystyle\frac{116}{11}\)

( ⅱ ) \(\displaystyle\frac{283272}{26887}<\sqrt{111}<\displaystyle\frac{26887}{2552}\)

( ⅰ ) \(111<11^2=121\) より \(\displaystyle\frac{111}{11}<11\) .

ここで \(a=\displaystyle\frac{111}{11}\)、\(b=11\) とおくと、

\(\displaystyle\frac{a+b}{2}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{111}{11}+11}{2}=\displaystyle\frac{116}{11}\)、

\(\sqrt{ab}=\sqrt{\displaystyle\frac{111}{11}\times 11}=\sqrt{111}\)、

\(\displaystyle\frac{2ab}{a+b}=\displaystyle\frac{2\times\displaystyle\frac{111}{11}\times 11}{\displaystyle\frac{111}{11}+11}=\displaystyle\frac{1221}{116}\)、

よって(1) の結果より、\(\displaystyle\frac{1221}{116}<\sqrt{111}<\displaystyle\frac{116}{11}\)

 

( ⅱ ) \(a=\displaystyle\frac{1221}{116}\)、\(b=\displaystyle\frac{116}{11}\) とおくと、

\(\displaystyle\frac{a+b}{2}=\displaystyle\frac{26887}{2552}\)、\(\sqrt{ab}=\sqrt{111}\)、\(\displaystyle\frac{2ab}{a+b}=\displaystyle\frac{283272}{26887}\)

よって(1) の結果より、\(\displaystyle\frac{283272}{26887}<\sqrt{111}<\displaystyle\frac{26887}{2552}\)

【09大阪教育大学】数学Ⅱの頻出テーマ:不等式の証明・相加相乗平均を利用した発展・応用問題
x>0,x^8(y-x^2)≧4を満たすとき,x(x+y)≧4の不等式の証明。有名・頻出の相加平均・相乗平均の関係を利用する発展・応用問題。誘導の流れに乗って考える。 数学2。2次試験対策、過去問演習。

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